Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \( MN \parallel (SAC) \) 1. Xác định vị trí của M và N: - M là trung điểm của AB, do đó \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} \). - N là trung điểm của BC, do đó \( \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC} \). 2. Chứng minh \( MN \parallel AC \): - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có \( MN \parallel AC \) và \( MN = \frac{1}{2}AC \). 3. Chứng minh \( MN \parallel (SAC) \): - Ta có \( MN \parallel AC \) và \( AC \) nằm trong mặt phẳng (SAC). - Do đó, \( MN \parallel (SAC) \). b) Tìm tỉ số \(\frac{S_{\Delta SHK}}{S_{\Delta SHC}}\) 1. Xác định vị trí của P: - P là trung điểm của SD, do đó \( \overrightarrow{SP} = \overrightarrow{PD} \). 2. Xác định giao điểm H và K: - Mặt phẳng (PMN) cắt SA tại H và SC tại K. 3. Tính tỉ số diện tích: - Do P là trung điểm của SD, nên \( SP = \frac{1}{2}SD \). - Mặt phẳng (PMN) chia hình chóp S.ABC thành hai phần có thể coi như hai hình chóp nhỏ hơn có chung đỉnh S và đáy là các tam giác nhỏ hơn. - Vì M và N là trung điểm của AB và BC, nên \( MN \parallel AC \) và \( MN = \frac{1}{2}AC \). - Do đó, tam giác SHK là hình chiếu của tam giác SHC trên mặt phẳng (PMN) với tỉ lệ chiều cao từ S đến (PMN) so với chiều cao từ S đến (SAC) là \(\frac{1}{2}\). 4. Kết luận: - Tỉ số diện tích \(\frac{S_{\Delta SHK}}{S_{\Delta SHC}} = \frac{1}{2}\). Vậy, tỉ số diện tích của hai tam giác là \(\frac{1}{2}\).