Câu $\rm 21.$

Câu 21: Để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, ta cần có $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n$. Ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách so sánh $u_{n+1}$ và $u_n$. Trước tiên, ta viết lại công thức của $u_n$: \[ u_n = \frac{an + 2}{3n + 1}. \] Tiếp theo, ta viết công thức của $u_{n+1}$: \[ u_{n+1} = \frac{a(n+1) + 2}{3(n+1) + 1} = \frac{an + a + 2}{3n + 4}. \] Để dãy số tăng, ta cần có: \[ u_{n+1} > u_n, \] tức là: \[ \frac{an + a + 2}{3n + 4} > \frac{an + 2}{3n + 1}. \] Ta nhân chéo để loại bỏ mẫu số: \[ (an + a + 2)(3n + 1) > (an + 2)(3n + 4). \] Mở rộng hai vế: \[ (an + a + 2)(3n + 1) = 3n(an) + 3n(a) + 3n(2) + an + a + 2 = 3an^2 + 3an + 6n + an + a + 2 = 3an^2 + 4an + 6n + a + 2, \] \[ (an + 2)(3n + 4) = 3n(an) + 4an + 6n + 8 = 3an^2 + 4an + 6n + 8. \] So sánh hai vế: \[ 3an^2 + 4an + 6n + a + 2 > 3an^2 + 4an + 6n + 8. \] Bỏ các hạng tử giống nhau ở cả hai vế: \[ a + 2 > 8. \] Giải bất phương trình: \[ a > 6. \] Vì $a$ phải là số nguyên, nên giá trị nguyên nhỏ nhất của $a$ thỏa mãn điều kiện trên là: \[ a = 7. \] Do đó, giá trị nguyên của $a$ nhỏ nhất để dãy số đã cho là dãy số tăng là: \[ \boxed{7}. \]