Tính $a^2 +b^2$. Cho a,b là hai số nguyên và $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2+ax+b}{x-3}=3.$ Giá trị của $a^2+b^2$ bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để tính $a^2 + b^2$ cho $a$ và $b$ là hai số nguyên thỏa mãn $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax + b}{x - 3} = 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện để giới hạn tồn tại:
   Vì giới hạn $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax + b}{x - 3}$ tồn tại và bằng 3, tử số $x^2 + ax + b$ phải chia hết cho mẫu số $x - 3$. Điều này có nghĩa là $x = 3$ là một nghiệm của đa thức $x^2 + ax + b$.

2. Thay $x = 3$ vào tử số:
   Ta có:
   $$
   3^2 + 3a + b = 0 \implies 9 + 3a + b = 0 \implies 3a + b = -9 \quad \text{(1)}
   $$

3. Phân tích giới hạn:
   Vì $x = 3$ là nghiệm của tử số, ta có thể viết $x^2 + ax + b$ dưới dạng $(x - 3)(x + c)$ với $c$ là hằng số nào đó. Do đó:
   $$
   \frac{x^2 + ax + b}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + c)}{x - 3} = x + c \quad \text{khi } x \neq 3
   $$
   Giới hạn của $x + c$ khi $x \to 3$ là:
   $$
   \lim_{x \to 3} (x + c) = 3 + c
   $$
   Theo đề bài, giới hạn này bằng 3, nên:
   $$
   3 + c = 3 \implies c = 0
   $$

4. Xác định $a$ và $b$:
   Từ $c = 0$, ta có:
   $$
   x^2 + ax + b = (x - 3)x = x^2 - 3x
   $$
   So sánh hệ số, ta được:
   $$
   a = -3 \quad \text{và} \quad b = 0
   $$

5. Tính $a^2 + b^2$:
   $$
   a^2 + b^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9
   $$

Vậy giá trị của $a^2 + b^2$ là 9.