Câu $\rm 10.$

Câu 10: Để giải quyết các mệnh đề trong bài toán này, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a): "Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q, khi đó \(NQ = a.\)" 1. Xét hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O. 2. M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Do đó, ta có: - \( \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SA} \) - \( \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SB} \) - \( \overrightarrow{SP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SC} \) 3. Mặt phẳng (MNP) là mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, P. 4. Để tìm giao điểm Q của SD với mặt phẳng (MNP), ta cần tìm tọa độ của Q sao cho Q thuộc SD và thuộc (MNP). 5. Do M, N, P là trung điểm, nên mặt phẳng (MNP) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD. 6. Giao điểm Q của SD với (MNP) sẽ là trung điểm của SD. 7. Do đó, \(NQ = \frac{1}{2} \times SB = \frac{1}{2} \times 2a = a\). Kết luận: Mệnh đề a) Đúng. Mệnh đề b): "(MNO) // (SCD)." 1. Mặt phẳng (MNO) đi qua các điểm M, N, O. 2. Mặt phẳng (SCD) đi qua các điểm S, C, D. 3. Do M, N, P là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, nên (MNO) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD. 4. Mặt phẳng trung bình (MNO) song song với mặt phẳng đáy (ABCD) và không song song với mặt phẳng (SCD). Kết luận: Mệnh đề b) Sai. Mệnh đề c): "(MNP) // (ABCD)." 1. Mặt phẳng (MNP) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD. 2. Do đó, (MNP) song song với mặt phẳng đáy (ABCD). Kết luận: Mệnh đề c) Đúng. Mệnh đề d): "Diện tích của tứ giác MNPQ bằng \(a^2.\)" 1. Tứ giác MNPQ nằm trong mặt phẳng trung bình (MNP) của hình chóp S.ABCD. 2. Diện tích của tứ giác MNPQ là một nửa diện tích của hình vuông ABCD. 3. Diện tích của hình vuông ABCD là \((2a)^2 = 4a^2\). 4. Do đó, diện tích của tứ giác MNPQ là \(\frac{1}{2} \times 4a^2 = 2a^2\). Kết luận: Mệnh đề d) Sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Sai. - Mệnh đề c) Đúng. - Mệnh đề d) Sai.