Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành rảnh dẫn nước bằng chia tấm nhôm thành 3 phần rồi gấp 2 bên lại theo một góc vuông. Người ta cần nghiên cứu cách để tạo ra đường rảnh có diện...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm cách tối ưu hóa diện tích mặt ngang của rãnh dẫn nước được tạo ra từ miếng nhôm. Miếng nhôm có bề ngang tổng cộng là 32 cm và được chia thành 3 phần, trong đó hai phần bên được gấp lên theo góc vuông để tạo thành hai cạnh của hình chữ nhật. a) Lập hàm số biểu diễn diện tích S theo biến x 1. Đặt biến và điều kiện: - Gọi \( x \) là bề ngang của mỗi phần bên của tấm nhôm. Do đó, điều kiện là \( 0 < x < 16 \) (vì tổng bề ngang của hai phần bên là \( 2x \) và phải nhỏ hơn 32 cm). - Phần giữa của tấm nhôm có bề ngang là \( 32 - 2x \). 2. Diện tích mặt ngang S: - Khi gấp hai phần bên lên theo góc vuông, chúng tạo thành hai cạnh của hình chữ nhật có chiều cao là \( x \) và chiều rộng là \( 32 - 2x \). - Diện tích mặt ngang \( S \) của rãnh dẫn nước là: \[ S = x \times (32 - 2x) = 32x - 2x^2 \] b) Xác định x để có được diện tích S lớn nhất 1. Hàm số diện tích: - Hàm số diện tích cần tối ưu là \( S(x) = 32x - 2x^2 \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của S: - Đây là một hàm bậc hai có dạng \( S(x) = -2x^2 + 32x \), với hệ số của \( x^2 \) là âm, do đó đồ thị là một parabol úp xuống. - Đỉnh của parabol cho giá trị lớn nhất của hàm số, và tọa độ x của đỉnh được tính bằng công thức: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \times (-2)} = \frac{32}{4} = 8 \] 3. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của diện tích mặt ngang \( S \) là khi \( x = 8 \). - Thay \( x = 8 \) vào hàm số \( S(x) \) để tìm giá trị lớn nhất của diện tích: \[ S(8) = 32 \times 8 - 2 \times 8^2 = 256 - 128 = 128 \] - Vậy, diện tích lớn nhất của mặt ngang rãnh dẫn nước là 128 cm², đạt được khi \( x = 8 \) cm.