Giúp mình với!

Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình chữ nhật và tính toán các vectơ cần thiết. Giả sử hệ tọa độ Oxy với điểm A trùng với gốc tọa độ O, tức là \( A(0, 0) \). 1. Xác định tọa độ các điểm: - \( A(0, 0) \) - \( B(6, 0) \) vì \( AB = 6 \) - \( D(0, 8) \) vì \( AD = 8 \) - \( C(6, 8) \) vì \( BC = 8 \) 2. Tọa độ điểm O: O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Do ABCD là hình chữ nhật, O là trung điểm của AC và BD. - Trung điểm của AC: \( O\left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3, 4) \) 3. Tọa độ điểm M: M là trung điểm của CD: - Trung điểm của CD: \( M\left(\frac{6+0}{2}, \frac{8+8}{2}\right) = (3, 8) \) 4. Tọa độ điểm N: N nằm trên BC sao cho \( BM = \frac{1}{4}BC \). - Độ dài BC: \( BC = 8 \) - \( BM = \frac{1}{4} \times 8 = 2 \) Điểm N cách B một đoạn 2 đơn vị theo phương thẳng đứng (vì BC nằm trên trục Oy): - \( N(6, 2) \) 5. Tính các vectơ: - \( \overrightarrow{AO} = (3 - 0, 4 - 0) = (3, 4) \) - \( \overrightarrow{BC} = (6 - 6, 8 - 0) = (0, 8) \) - \( \overrightarrow{MN} = (6 - 3, 2 - 8) = (3, -6) \) - \( \overrightarrow{AB} = (6 - 0, 0 - 0) = (6, 0) \) - \( \overrightarrow{BM} = (3 - 6, 8 - 0) = (-3, 8) \) 6. Tính độ dài các vectơ yêu cầu: 1. \( |\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BC}| = |(3, 4) - (0, 8)| = |(3, -4)| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 2. \( |\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BC}| = |(3, 4) + (0, 8)| = |(3, 12)| = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \) 3. \( |\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{AB}| = |(3, -6) - (6, 0)| = |(-3, -6)| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) 4. \( |\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BM}| = |(3, 4) - (-3, 8)| = |(6, -4)| = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \) Kết quả: 1. \( |\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BC}| = 5 \) 2. \( |\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{153} \) 3. \( |\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{AB}| = 3\sqrt{5} \) 4. \( |\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BM}| = 2\sqrt{13} \) Bài 2: Để chứng minh các đẳng thức vectơ đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phép trừ vectơ và tính chất của vectơ. 1) Chứng minh: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{KE} + \overrightarrow{DC}\) Bước 1: Biểu diễn các vectơ theo các điểm đã cho. - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}\) - \(\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OK}\) - \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD}\) Bước 2: Biểu diễn các vectơ ở vế phải. - \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\) - \(\overrightarrow{KE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OK}\) - \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\) Bước 3: Thay các biểu thức vào đẳng thức cần chứng minh. Vế trái: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{DE} = (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OK}) + (\overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD}) \] Vế phải: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{KE} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OK}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}) \] Bước 4: So sánh hai vế. Cả hai vế đều có các thành phần \(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OK}, \overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OD}\) với dấu tương ứng, do đó hai vế bằng nhau. 2) Chứng minh: \(\overrightarrow{EK} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AK}\) Bước 1: Biểu diễn các vectơ theo các điểm đã cho. - \(\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OE}\) - \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\) - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\) Bước 2: Biểu diễn các vectơ ở vế phải. - \(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OE}\) - \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD}\) - \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA}\) Bước 3: Thay các biểu thức vào đẳng thức cần chứng minh. Vế trái: \[ \overrightarrow{EK} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \] Vế phải: \[ \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AK} = (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA}) \] Bước 4: So sánh hai vế. Cả hai vế đều có các thành phần \(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OK}, \overrightarrow{OA}\) với dấu tương ứng, do đó hai vế bằng nhau. Vậy, cả hai đẳng thức vectơ đã được chứng minh.