Một khối cầu tâm I bán kính R bị cắt bởi một mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C), tạo thành hai khối chỏm cầu. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn (C), biết rằng góc giữa đường thẳng IM và m...

Để giải bài toán này, ta cần tính thể tích của khối chỏm cầu nhỏ tạo thành khi mặt phẳng (P) cắt khối cầu tâm I bán kính R. Bước 1: Xác định các yếu tố hình học 1. Khối cầu: Tâm I, bán kính R. 2. Mặt phẳng (P): Cắt khối cầu tạo thành đường tròn (C) với tâm O và bán kính r. 3. Điểm M: Thuộc đường tròn (C). 4. Góc giữa đường thẳng IM và mặt phẳng (P): Bằng 30 độ. Bước 2: Tính bán kính r của đường tròn (C) Do góc giữa đường thẳng IM và mặt phẳng (P) là 30 độ, ta có thể sử dụng định nghĩa của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cụ thể, nếu h là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P), thì: \[ \cos(30^\circ) = \frac{h}{R} \] Từ đó, ta có: \[ h = R \cdot \cos(30^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bán kính r của đường tròn (C) được tính bằng: \[ r = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{R^2 - \left(R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2} \] Bước 3: Tính thể tích khối chỏm cầu Thể tích V của khối chỏm cầu có chiều cao h và bán kính đáy r được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \pi h (3a^2 + h^2) \] Trong đó, a là bán kính của đường tròn đáy (ở đây là r), và h là chiều cao từ mặt phẳng (P) đến đỉnh chỏm cầu (ở đây là \(R - h\)). Chiều cao của khối chỏm cầu nhỏ là: \[ h' = R - h = R - R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Thay vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \pi h' \left(3 \left(\frac{R}{2}\right)^2 + (h')^2\right) \] Tính toán cụ thể: \[ V = \frac{1}{3} \pi \left(R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \left(3 \cdot \frac{R^2}{4} + \left(R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)^2\right) \] \[ = \frac{1}{3} \pi R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{3R^2}{4} + R^2 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right) \] \[ = \frac{1}{3} \pi R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{3R^2}{4} + R^2 \left(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4}\right)\right) \] \[ = \frac{1}{3} \pi R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{3R^2}{4} + R^2 \left(\frac{7}{4} - \sqrt{3}\right)\right) \] \[ = \frac{1}{3} \pi R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{10R^2}{4} - R^2 \sqrt{3}\right) \] \[ = \frac{1}{3} \pi R \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{5R^2}{2} - R^2 \sqrt{3}\right) \] Kết quả cuối cùng là thể tích của khối chỏm cầu nhỏ theo R.