Câu $\rm 20.$

Phân tích Thiết diện và Dựng HìnhMặt phẳng $(\alpha) = (OMN)$ được xác định bởi:O là tâm hình bình hành $ABCD$ (trung điểm của $AC$ và $BD$).M là trung điểm của $SC$.N là trung điểm của $SD$.Giao tuyến với mặt phẳng $(SCD)$: Vì $M$ là trung điểm $SC$ và $N$ là trung điểm $SD$, nên $MN$ là đường trung bình của $\triangle SCD$.$MN \parallel CD$Giao tuyến với mặt phẳng $(ABCD)$:Ta có $O \in (ABCD)$.Vì $MN \subset (OMN)$ và $MN \parallel CD$, mặt phẳng $(OMN)$ sẽ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ theo một giao tuyến đi qua $O$ và song song với $CD$.$CD \parallel AB$, nên giao tuyến này cũng song song với $AB$.Trong mặt phẳng $(ABCD)$, qua $O$ kẻ đường thẳng $PQ \parallel AB$ ($P \in AD, Q \in BC$).Vì $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$, nên $P$ là trung điểm $AD$ và $Q$ là trung điểm $BC$.Vậy, giao tuyến của $(OMN)$ với mặt đáy là $PQ$.Giao tuyến với mặt phẳng $(SAD)$: Vì $N \in SD$ và $P \in AD$, giao tuyến là $NP$.Do $N, P$ là trung điểm $SD, AD$, nên $NP$ là đường trung bình của $\triangle SAD$.$NP \parallel SA$Giao tuyến với mặt phẳng $(SBC)$: Vì $M \in SC$ và $Q \in BC$, giao tuyến là $MQ$.Do $M, Q$ là trung điểm $SC, BC$, nên $MQ$ là đường trung bình của $\triangle SBC$.$MQ \parallel SB$Giao tuyến với mặt phẳng $(SAB)$:Ta có $MN \parallel CD \parallel AB$.$PQ \parallel AB$.$MN \parallel PQ$.$NP \parallel SA$.$MQ \parallel SB$.Tứ giác thiết diện là $\mathbf{MNQP}$.📝 Xác định Hình dạng và Tính Diện tích $S$Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(OMN)$ là tứ giác $MNQP$.Ta đã chứng minh $MN \parallel PQ$. $\Rightarrow$ $MNQP$ là hình thang.Bây giờ ta tính độ dài các cạnh của hình thang $MNQP$.Đáy $PQ$: $PQ$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$ (song song với $AB$ và $CD$).$PQ = AB = 4$Đáy $MN$: $MN$ là đường trung bình của $\triangle SCD$.$MN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$Cạnh bên $NP$: $NP$ là đường trung bình của $\triangle SAD$.$NP = \frac{1}{2} SA$Vì $\triangle SAB$ là tam giác đều cạnh $4$, nên $SA = AB = 4$.$NP = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$Cạnh bên $MQ$: $MQ$ là đường trung bình của $\triangle SBC$.$MQ = \frac{1}{2} SB$Vì $\triangle SAB$ là tam giác đều cạnh $4$, nên $SB = AB = 4$.$MQ = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$\Rightarrow$ Ta có $NP = MQ = 2$.Hình thang $MNQP$ có hai cạnh bên bằng nhau ($NP = MQ$), nên nó là hình thang cân.📏 Tính Diện tích Hình thang cân $MNQP$Diện tích hình thang được tính bằng công thức: $S = \frac{(MN + PQ)}{2} \cdot h$, với $h$ là chiều cao của hình thang.Gọi $H$ và $K$ là hình chiếu của $N$ và $M$ lên $PQ$. $h = NH = MK$.Do $MNQP$ là hình thang cân:$HQ = KP = \frac{PQ - MN}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$Ta cần tính chiều cao $h = NH$.Xét $\triangle NHP$ vuông tại $H$:$NH^2 = NP^2 - HP^2$Để tính $NP$, ta đã có $NP = 2$.Để tính $HP$, ta có $HP = PQ - HQ = 4 - 1 = 3$.Cách 2: Dùng $\triangle NHP$ vuông tại $H$: $HP$ là độ dài từ $P$ đến hình chiếu của $N$.Ta dùng cách tính $HP$ như sau:$HP = \frac{PQ + MN}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$(Cách tính này SAI cho hình thang cân).Ta dùng cách tính $HP$ như sau:$HP = PQ - HQ = 4 - 1 = 3$(Cách này cũng SAI vì $H$ và $K$ nằm trong đoạn $PQ$).$HK = MN = 2$$PH + HK + KQ = PQ$$PH = KQ = \frac{PQ - HK}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$\triangle NHP$ vuông tại $H$:$h^2 = NH^2 = NP^2 - PH^2$$h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$$h = NH = \sqrt{3}$

 Tính $S$ và $S^2$Diện tích $S$ của thiết diện $MNQP$:$S = \frac{MN + PQ}{2} \cdot h = \frac{2 + 4}{2} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$Bình phương diện tích $S$:$S^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$