help meeeeee

Câu 3: Để tìm giá trị của \( a \) sao cho \( L = \frac{1}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức giới hạn: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(an + 1)^3 (n^2 + 3n + 5)}{(2n - 1)^2 (n^2 + 3)^2} \] 2. Rút gọn các đa thức trong tử số và mẫu số: - Tử số: \[ (an + 1)^3 = a^3 n^3 + 3a^2 n^2 + 3a n + 1 \] \[ n^2 + 3n + 5 \approx n^2 \quad \text{(khi \( n \) rất lớn)} \] Do đó, tử số gần đúng là: \[ a^3 n^3 \cdot n^2 = a^3 n^5 \] - Mẫu số: \[ (2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1 \approx 4n^2 \quad \text{(khi \( n \) rất lớn)} \] \[ (n^2 + 3)^2 = n^4 + 6n^2 + 9 \approx n^4 \quad \text{(khi \( n \) rất lớn)} \] Do đó, mẫu số gần đúng là: \[ 4n^2 \cdot n^4 = 4n^6 \] 3. Tính giới hạn: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a^3 n^5}{4n^6} = \lim_{n \to \infty} \frac{a^3}{4n} = \frac{a^3}{4} \] 4. Đặt \( L = \frac{1}{2} \) và giải phương trình: \[ \frac{a^3}{4} = \frac{1}{2} \] \[ a^3 = 2 \] \[ a = \sqrt[3]{2} \] Vậy giá trị của \( a \) để \( L = \frac{1}{2} \) là: \[ a = \sqrt[3]{2} \] Câu 4: Ta có: $\begin{array}{l} \lim \frac{{\sqrt {9{n^2} - 4} - \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}}}{{5n + 11}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {9 - \frac{4}{{{n^2}}}} \right)} - \sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}}}{{5n + 11}}\\ = \lim \frac{{|n|\sqrt {9 - \frac{4}{{{n^2}}}} - |n|\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n}}}}}{{5n + 11}} = \lim \frac{{n\sqrt {9 - \frac{4}{{{n^2}}}} - n\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n}}}}}{{5n + 11}}\\ = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {9 - \frac{4}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n}}} \right)}}{{5n + 11}} = \lim \frac{{\sqrt {9 - \frac{4}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n}}}}}{{5 + \frac{{11}}{n}}} = \frac{{\sqrt 9 - \sqrt[3]{1}}}{5} = \frac{2}{5}. \end{array}$ Do đó, \( T = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 = -11. \) Đáp án: \(-11.\) Câu 5: Ta có: $\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{16n^4-4}-\sqrt[3]{n^6+\pi}}{an^2+\pi}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^2\left(\sqrt{16-\frac{4}{n^4}}-\sqrt[3]{1+\frac{\pi}{n^6}}\right)}{n^2\left(a+\frac{\pi}{n^2}\right)}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{16-\frac{4}{n^4}}-\sqrt[3]{1+\frac{\pi}{n^6}}}{a+\frac{\pi}{n^2}}=\frac{4-1}{a}=\frac{3}{a}$ Theo giả thiết ta có $\frac{3}{a}=-12,$ suy ra $a=-\frac{1}{4}.$ Câu 6: Ta có: $\begin{array}{l} \lim \frac{{\sqrt {{n^4} - 4} - \sqrt[3]{{27{n^6} + 5}} + 9n + 1}}{{a{n^2} + n + 1}} \\ = \lim \frac{{{n^2}\sqrt {1 - \frac{4}{{{n^4}}}} - {n^2}\sqrt[3]{{27 + \frac{5}{{{n^6}}}}} + 9n + 1}}{{a{n^2} + n + 1}} \\ = \lim \frac{{{n^2}\left( {\sqrt {1 - \frac{4}{{{n^4}}}} - \sqrt[3]{{27 + \frac{5}{{{n^6}}}}} + \frac{9}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {a + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} \\ = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{{{n^4}}}} - \sqrt[3]{{27 + \frac{5}{{{n^6}}}}} + \frac{9}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} \\ = \frac{{\sqrt 1 - \sqrt[3]{{27}} + 0 + 0}}{{a + 0 + 0}} = \frac{{1 - 3}}{a} = \frac{{ - 2}}{a}. \end{array}$ Theo giả thiết ta có \(\frac{-2}{a}=-1\) suy ra \(a=2.\) Câu 7: Để tìm giới hạn \(\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n}\), chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của cấp số nhân. 1. Công thức tổng của cấp số nhân: - Tổng của dãy số \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n\) là \(\frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}\). 2. Áp dụng công thức vào tử số và mẫu số: - Tử số: \(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1\). - Mẫu số: \(1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n = \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 1}{2}\). 3. Viết lại giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} - 1}{\frac{3^{n+1} - 1}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1} - 1)}{3^{n+1} - 1} \] 4. Rút gọn biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1} - 1)}{3^{n+1} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^{n+1} - 2}{3^{n+1} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+2} - 2}{3^{n+1} - 1} \] 5. Chia cả tử số và mẫu số cho \(3^{n+1}\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+2} - 2}{3^{n+1} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} - \frac{2}{3^{n+1}}}{1 - \frac{1}{3^{n+1}}} \] 6. Đơn giản hóa các hạng tử: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} \cdot 2^2 - \frac{2}{3^{n+1}}}{1 - \frac{1}{3^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} \cdot 4 - \frac{2}{3^{n+1}}}{1 - \frac{1}{3^{n+1}}} \] 7. Khi \(n \to \infty\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} \to 0\) và \(\frac{1}{3^{n+1}} \to 0\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{0 \cdot 4 - 0}{1 - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{0}{1} = 0 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \boxed{0} \]