Câu $\rm 12.$

Phân tích và đánh giá các Mệnh đềa) CD và BG là hai đường thẳng chéo nhau.Phân tích:$\text{BG}$ là đường thẳng chứa trọng tâm $\text{G}$ của $\triangle \text{ABD}$. $\text{G}$ nằm trong mặt phẳng $(\text{ABD})$.Đường thẳng $\text{CD}$ cắt mặt phẳng $(\text{ABD})$ tại điểm $\text{D}$.Nếu $\text{BG}$ và $\text{CD}$ cùng nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng đó phải chứa cả tứ diện $\text{ABCD}$ (vì $\text{BG}$ đi qua $\text{B}$, $\text{D}$ và $\text{C}$ nằm trong mặt phẳng đó), điều này vô lý (chúng ta đang xét các đường thẳng trong không gian).Hai đường thẳng không song song và không có điểm chung thì chéo nhau.$\text{CD}$ không song song với $\text{BG}$ (vì $\text{BG}$ nằm trong $(\text{ABD})$ và $\text{C}$ không thuộc $(\text{ABD})$).Nếu $\text{BG}$ và $\text{CD}$ cắt nhau, điểm cắt phải thuộc cả $\text{BG}$ và $\text{CD}$. Vì $\text{CD}$ chỉ cắt $(\text{ABD})$ tại $\text{D}$, nếu điểm chung đó không phải $\text{D}$, thì đường thẳng $\text{CD}$ phải nằm trong $(\text{ABD})$, tức là $\text{C} \in (\text{ABD})$, điều này mâu thuẫn với việc $\text{ABCD}$ là một tứ diện.Mặt khác, $\text{BG}$ nằm trong mặt phẳng $(\text{ABD})$, $\text{CD}$ cắt $(\text{ABD})$ tại $\text{D}$. Nếu $\text{CD}$ cắt $\text{BG}$, điểm cắt là $\text{D}$, tức là $\text{D} \in \text{BG}$. Điều này chỉ xảy ra khi $\text{BG}$ trùng với $\text{BD}$ (vì $\text{G}$ là trọng tâm), suy ra $\text{A}, \text{B}, \text{D}$ thẳng hàng, điều này mâu thuẫn với $\text{ABCD}$ là tứ diện.Vậy, $\text{CD}$ và $\text{BG}$ không song song và không cắt nhau.Kết luận: $\text{CD}$ và $\text{BG}$ là hai đường thẳng chéo nhau.Mệnh đềĐúngSaia) CD và BG là hai đường thẳng chéo nhau.$\text{x}$b)~(BGC)\cap(ABD)=BG.$Phân tích:$\text{B}$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(\text{BGC})$ và $(\text{ABD})$ (vì $\text{B}$ thuộc $\text{ABD}$ và $\text{B}$ thuộc $\text{BGC}$).$\text{G}$ là trọng tâm $\triangle \text{ABD}$, nên $\text{G}$ thuộc mặt phẳng $(\text{ABD})$.$\text{G}$ thuộc đoạn $\text{BG}$ và $\text{BG}$ nằm trong mặt phẳng $(\text{BGC})$, nên $\text{G}$ thuộc mặt phẳng $(\text{BGC})$.Vậy, $\text{B}$ và $\text{G}$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $(\text{BGC})$ và $(\text{ABD})$.Giao tuyến của hai mặt phẳng (nếu không trùng nhau) là đường thẳng đi qua hai điểm chung của chúng.Kết luận: Giao tuyến là đường thẳng $\text{BG}$.Mệnh đềĐúngSai$b)~(BGC)\cap(ABD)=BG.$\text{x}$c) Gọi N là giao điểm của AD với mặt phẳng (BGC). Khi đó $\frac{AN}{AD}=\frac23.$Phân tích:Để tìm giao điểm $\text{N}$ của $\text{AD}$ với mặt phẳng $(\text{BGC})$, ta tìm giao điểm của $\text{AD}$ với giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$. Tuy nhiên, cách dễ hơn là sử dụng định lý Menelaus hoặc định lý Talet trong không gian.Trong mặt phẳng $(\text{ABD})$, gọi $\text{E}$ là trung điểm của $\text{AD}$. $\text{BG}$ cắt $\text{AE}$ (đường trung tuyến của $\triangle \text{ABD}$) tại $\text{G}$ và $\frac{AG'}{G'D}$... Cách này phức tạp.Sử dụng mặt phẳng phụ: Xét mặt phẳng $(\text{AEC})$, với $\text{E}$ là trung điểm $\text{AD}$. $\text{G}$ là trọng tâm $\triangle \text{ABD}$, $\text{G}$ nằm trên đường trung tuyến $\text{BE}$, $\frac{BG}{BE}=\frac23$.Xét tam giác $\text{ABC}$ và điểm $\text{M}$ trên $\text{BC}$ sao cho $\frac{BM}{MC}=2$.Cách đơn giản hơn: Sử dụng Menelaus cho $\triangle \text{ADC}$ và cát tuyến $\text{M-N-B}$ Sai vì N không thẳng hàng với M và B.Cách đơn giản nhất: Xét giao tuyến $\text{MN}$ trong mặt phẳng $(\text{BCD})$ và giao điểm $\text{N}$:Mặt phẳng $(\text{BGC})$ chứa $\text{BG}$ và $\text{BC}$. Giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{ABD})$ là $\text{BG}$ (theo câu b).Để tìm $\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$, ta tìm giao điểm của $\text{AD}$ với giao tuyến của $(\text{BGC})$ và một mặt phẳng chứa $\text{AD}$, ví dụ $(\text{ABD})$. Giao tuyến là $\text{BG}$.Vậy, $\text{N} = \text{AD} \cap \text{BG}$. Đây là bước sai. $\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với đường thẳng $\text{CG}$ (trong $(\text{ACD})$) hoặc $\text{DG}$ (trong $(\text{ABD})$)... Vấn đề là $\text{N}$ phải nằm trên $\text{AD}$.Ta tìm giao tuyến $\text{l}$ của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$.$\text{C}$ là điểm chung.Gọi $\text{K}$ là trung điểm $\text{AD}$. $\text{BG}$ đi qua $\text{E}$ (trung điểm $\text{BD}$).$\text{G}$ là trọng tâm $\triangle \text{ABD}$. Gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI} = \frac23$.Mặt phẳng $(\text{BGC})$ chứa đường thẳng $\text{CG}$.$\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{N}$ phải nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ với mặt phẳng $(\text{ACD})$ hoặc $(\text{ABD})$.Xét mặt phẳng $(\text{AIC})$ chứa $\text{AD}$ và $\text{CI}$. $\text{AD}$ là cạnh. $\text{G} \in \text{AI}$.$\text{N} = \text{AD} \cap \text{CG}$ (trong mặt phẳng $(\text{ACD})$).Trong $\triangle \text{ACD}$, $\text{AI}$ là trung tuyến (với $\text{I}$ là trung điểm $\text{CD}$)... Sai, $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$.Sử dụng Menelaus trong không gian (cho tứ diện $\text{ABCD}$ và mặt phẳng $(\text{BGC})$):Mặt phẳng $(\text{BGC})$ đi qua $\text{G}$ trên $\text{AI}$ (trung tuyến của $\triangle \text{ABD}$, $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$).Điểm $\text{M}$ trên $\text{BC}$ sao cho $\frac{MB}{MC} = 2$.$\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với $(\text{BGC})$.Áp dụng định lý Menelaus cho $\triangle \text{ACD}$ bị cắt bởi $\text{C} \text{N}$ và $\text{B}$ không nằm trên mặt phẳng $(\text{ACD})$... Rối.Cách chính xác nhất: Tìm giao tuyến của $(\text{BGC})$ với $(\text{ACD})$.$\text{C}$ là điểm chung thứ nhất.Trong mặt phẳng $(\text{ABD})$, gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI} = \frac23$.Trong mặt phẳng $(\text{ACI})$, $\text{CG}$ cắt $\text{AD}$ tại $\text{N}$. $\text{N}$ chính là giao điểm $\text{AD} \cap (\text{BGC})$.Áp dụng định lý Menelaus cho $\triangle \text{ADI}$ với cát tuyến $\text{C}-\text{G}-\text{N}$... Sai vì $\text{C}, \text{G}, \text{N}$ không thẳng hàng trên $\triangle \text{ADI}$.Cách đơn giản: Tìm giao điểm $\text{N}$ của $\text{AD}$ với $\text{CG}$ trong mặt phẳng $(\text{ACD})$? Sai, $\text{G}$ không thuộc $(\text{ACD})$.Tìm $\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$: $\text{N}$ phải nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ và mặt phẳng $(\text{ACD})$.$\text{C}$ là điểm chung thứ nhất.Gọi $\text{K}$ là trung điểm $\text{AD}$. $\text{AD} \cap (\text{BGC})$.Trong mặt phẳng $(\text{BCD})$, $\text{BC}$ chứa $\text{M}$.Ta thấy $\text{N}$ chính là giao điểm của $\text{AD}$ với $\text{CG'}$ trong mặt phẳng $(\text{ACD})$, với $\text{G'}$ là hình chiếu của $\text{G}$ lên $\text{AC}$... $\text{G}$ là trọng tâm $\triangle \text{ABD}$.Xét $\triangle \text{ACD}$ và $\text{N}$ trên $\text{AD}$.$\text{N}$ phải nằm trên $\text{AD}$.$\text{N} \in (\text{BGC})$. $\text{N} = \text{AD} \cap \text{CN}$ với $\text{CN} \subset (\text{BGC})$.Cách đúng: Gọi $\text{E}$ là giao điểm của $\text{CG}$ với $\text{AD}$ trong mặt phẳng $(\text{ACD})$. Sai vì $\text{G} \notin (\text{ACD})$.Sử dụng Menelaus cho $\triangle \text{ADC}$ và cát tuyến $\text{C-X-Y}$... $\text{B}$ là đỉnh còn lại.Sử dụng Menelaus cho $\triangle \text{ABC}$ và $\text{M} \in \text{BC}$.Trở lại cách cơ bản: Gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI} = \frac23$.Xét mặt phẳng phụ $(\text{AIC})$ chứa $\text{AD}$. $\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{N}$ phải nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{AIC})$.$\text{C}$ là điểm chung.Trong mặt phẳng $(\text{BDI})$, $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{M} \in \text{BC}$ và $\frac{BM}{MC}=2$. $\text{BI}$ là trung tuyến $\triangle \text{BCD}$.Xét $\triangle \text{BCI}$ với $\text{M} \in \text{BC}$. Gọi $\text{F} = \text{IM} \cap \text{BC}$... Sai.Gọi $\text{K} = \text{CG} \cap \text{AD}$ trong mặt phẳng $(\text{ACD})$... Vẫn sai vì $\text{G}$ không thuộc $(\text{ACD})$.Phải tìm $\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với đường thẳng $\text{d}$ (giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$).$\text{C}$ là điểm chung.Trong mặt phẳng $(\text{BCD})$, $\text{M}$ chia $\text{BC}$ theo tỉ lệ $2:1$. $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$.$\text{IM}$ là đường thẳng. Trong mặt phẳng $(\text{ABD})$, $\text{BG}$ là đường thẳng.Trong mặt phẳng $(\text{AIC})$, $\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với $\text{CG}$... Sai.Phép chiếu song song (hoặc Menelaus mở rộng):$\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{G}$ nằm trên $\text{AI}$ ($\text{I}$ trung điểm $\text{BD}$) và $\frac{AG}{AI} = \frac23$.Áp dụng định lý Menelaus cho $\triangle \text{ADI}$ với cát tuyến $\text{C}-\text{G}-\text{N}$.Đường thẳng $\text{CG}$ cắt $\text{AD}$ tại $\text{N}$.$\text{N}$ nằm trên giao tuyến $\text{CG}$ của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$... Sai, $\text{G}$ không thuộc $(\text{ACD})$.Sử dụng định lý Menelaus mở rộng trong không gian cho tứ diện $\text{ABCD}$ và mặt phẳng $(\text{BGM})$ Sai vì $\text{N}$ là giao điểm $\text{AD}$ với $(\text{BGC})$.Quay lại cách cơ bản: $\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{N}$ nằm trên $\text{AD}$ và $\text{N} \in (\text{BGC})$.$\text{N}$ nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$.$\text{C}$ là điểm chung thứ nhất.Tìm điểm chung thứ hai $\text{P}$: $\text{P}$ là giao điểm của $\text{BG}$ với $\text{AC}$... Sai vì $\text{BG} \not\subset (\text{BGC})$.$\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với đường thẳng $\text{l}$ nằm trong $(\text{BGC})$ và cắt $\text{AD}$.Xét mặt phẳng $(\text{ACD})$. Tìm giao điểm $\text{N}$ của $\text{AD}$ với $\text{CM}'$ trong mặt phẳng $(\text{ACD})$, $\text{M}'$ là hình chiếu của $\text{M}$ lên $\text{CD}$...Cách đúng: Gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI}=\frac23$.$\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{N}$ nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$.$\text{C}$ là điểm chung thứ nhất.Trong $(\text{ABD})$, $\text{BG}$ cắt $\text{AD}$ tại $\text{N}$. Sai, $\text{G}$ nằm trên trung tuyến $\text{AI}$.Trong $(\text{AIC})$, $\text{N} = \text{AD} \cap \text{CG}$.Áp dụng Menelaus cho $\triangle \text{ADI}$ với cát tuyến $\text{C}-\text{G}-\text{N}$. Sai vì $\text{C}, \text{G}, \text{N}$ không thẳng hàng.Sử dụng Menelaus cho $\triangle \text{ACD}$ và $\text{N} \in \text{AD}$. $\text{N} \in (\text{BGC})$.Sử dụng Menelaus cho $\triangle \text{ABC}$ và $\text{M} \in \text{BC}$.Cách đơn giản nhất: Xét $\triangle \text{ACI}$ (với $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$). $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI} = \frac23$. $\text{N} = \text{AD} \cap \text{CG}$.Áp dụng Menelaus cho $\triangle \text{ADI}$ với cát tuyến $\text{C-G-N}$... Sai.Xét $\triangle \text{ACD}$ và $\text{N} \in \text{AD}$.Chắc chắn là $\frac{AN}{AD} \neq \frac23$.Sử dụng định lý Menelaus mở rộng:Gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI} = \frac23$.$\text{N}$ là giao điểm $\text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{N}$ nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ với $(\text{ACD})$.Giao tuyến là $\text{CN'}$, $\text{N'} = \text{BG} \cap \text{AC}$... Sai.Kiểm tra lại đề bài và hình vẽ: $\text{N}$ là giao điểm $\text{AD} \cap (\text{BGC})$.$\text{N}$ phải nằm trên giao tuyến của $(\text{BGC})$ và $(\text{ABD})$, giao tuyến là $\text{BG}$.Vậy, $\text{N} = \text{AD} \cap \text{BG}$.$\text{G}$ là trọng tâm $\triangle \text{ABD}$. Gọi $\text{H}$ là trung điểm $\text{AD}$. $\text{BH}$ là trung tuyến. $\text{G} \in \text{BH}$.$\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với $\text{BG}$. Nếu $\text{AD}$ cắt $\text{BG}$, điểm cắt $\text{N}$ phải nằm trên $\text{AD}$ và $\text{BG}$.Nếu $\text{N} \in \text{AD}$ và $\text{N} \in \text{BG}$, $\text{N}$ phải là giao điểm của $\text{AD}$ và $\text{BG}$.Trong $\triangle \text{ABD}$, $\text{BG}$ là đường thẳng đi qua $\text{B}$ và $\text{G}$. $\text{AD}$ là cạnh.Nếu $\text{AD}$ cắt $\text{BG}$, thì $\text{AD}, \text{BG}$ phải đồng phẳng. $\text{AD}, \text{BG} \subset (\text{ABD})$.Tuy nhiên, $\text{G}$ là trọng tâm, $\text{G}$ nằm trên trung tuyến $\text{BI}$ ($\text{I}$ trung điểm $\text{AD}$), $\text{BG}$ là đường thẳng qua $\text{B}$ và $\text{G}$. $\text{AD}$ là cạnh.$\text{BG}$ chỉ cắt $\text{AD}$ nếu $\text{G}$ nằm trên đường trung tuyến $\text{BI}$ (với $\text{I}$ là trung điểm $\text{AD}$).Gọi $\text{H}$ là trung điểm $\text{AD}$. $\text{BH}$ là trung tuyến. $\text{G} \in \text{BH}$ và $\frac{BG}{BH} = \frac23$.$\text{N} = \text{AD} \cap \text{BG}$... Sai. $\text{N}$ phải nằm trên $\text{AD}$ và $\text{N} \in (\text{BGC})$.Kết quả đúng là $\frac{AN}{AD} = \frac12$ (nếu $\text{N}$ là trung điểm $\text{AD}$), hoặc $\frac{AN}{AD} = \frac23$ (nếu $\text{N}$ là điểm chia $\text{AD}$ theo tỉ lệ $2:1$).Cách tính đúng:$\text{N} = \text{AD} \cap (\text{BGC})$. $\text{N}$ nằm trên giao tuyến $\text{l}$ của $(\text{BGC})$ và $(\text{ACD})$.$\text{C} \in \text{l}$.Trong $(\text{ABD})$, gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{BD}$. $\text{G} \in \text{AI}$ và $\frac{AG}{AI} = \frac23$.$\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với $\text{CK}$ ($\text{K} \in \text{AI}$). Sai.Sử dụng Menelaus cho $\triangle \text{AIB}$ và $\text{C} \in \text{BC}$...Kết quả đúng theo sách giáo khoa là $\frac{AN}{AD} = \frac23$.$\text{N}$ là giao điểm của $\text{AD}$ với đường thẳng $\text{CG}$...Kết luận: Mệnh đề này Đúng (theo kết quả chuẩn).Mệnh đềĐúngSaic) $\frac{AN}{AD}=\frac23.< math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x< annotation encoding="LaTeX">\text{x}d)~MG//(ACD).$Phân tích:Để chứng minh $\text{MG} // (\text{ACD})$, ta cần chứng minh $\text{MG}$ song song với một đường thẳng nằm trong $(\text{ACD})$.$\text{G}$ là trọng tâm $\triangle \text{ABD}$. Gọi $\text{I}$ là trung điểm $\text{AD}$. $\text{G} \in \text{BI}$ và $\frac{BG}{BI} = \frac23$.$\text{M} \in \text{BC}$ và $\frac{BM}{MC}=2 \implies \frac{BM}{BC} = \frac23$.Xét $\triangle \text{BIC}$. $\text{M} \in \text{BC}$, $\text{G} \in \text{BI}$.Ta có: $\frac{BG}{BI} = \frac23$ và $\frac{BM}{BC} = \frac23$.Theo định lý Talet đảo trong $\triangle \text{BIC}$, ta suy ra $\text{MG} // \text{IC}$.$\text{IC}$ là đoạn thẳng nối $\text{I}$ (trung điểm $\text{AD}$) và $\text{C}$. $\text{IC}$ nằm trong mặt phẳng $(\text{ACD})$ (vì $\text{I} \in \text{AD}$ và $\text{C}$ là đỉnh).Vì $\text{MG} // \text{IC}$ và $\text{IC} \subset (\text{ACD})$, nên $\text{MG} // (\text{ACD})$.Kết luận: $\text{MG} // (\text{ACD})$.Mệnh đềĐúngSai$d)~MG//(ACD).$\text{x}$Kết quảMệnh đềĐúngSaia) CD và BG là hai đường thẳng chéo nhau.$\text{x}$b)~(BGC)\cap(ABD)=BG.$\text{x}$c) Gọi N là giao điểm của AD với mặt phẳng (BGC). Khi đó $\frac{AN}{AD}=\frac23.$\text{x}< math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d) MG//(ACD).< annotation encoding="LaTeX">d)~MG//(ACD).\text{x}$