Câu $\rm 9.$

Phân tích các Mệnh đề về Tứ diện $ABCD$Cho tứ diện $ABCD$. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, BC$. Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2PD$ (tức là $\frac{BP}{BD} = \frac{2}{3}$).Mệnh đềPhân tíchĐúngSai$a)~MN // (ABD).$M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $BC$. $\Rightarrow$ $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. $\Rightarrow \mathbf{MN // AB}$. Mà $AB$ là một cạnh của mặt phẳng $(ABD)$, nên $AB \subset (ABD)$. Vì $MN$ song song với đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$, nên $\mathbf{MN // (ABD)}$ (theo định lý đường thẳng song song mặt phẳng).X$b)~MP // CD.$Ta xét $\triangle ACD$ và $\triangle BCD$. $M$ là trung điểm $AC$ ($\frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$). $P$ chia $BD$ theo tỉ lệ $\frac{BP}{BD} = \frac{2}{3}$. Tỉ lệ này không tạo ra sự song song giữa $MP$ và $CD$. Hơn nữa, $MP$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (trừ trường hợp $MP$ và $CD$ có một điểm chung, điều này không xảy ra). Mệnh đề này là sai.X$c)$ Gọi $I=CD\cap(MNP),$ ba điểm $I, N, P$ thẳng hàng.$I$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$. $CD$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$. $I$ là điểm chung của $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$. $N$ và $P$ đều thuộc mặt phẳng $(BCD)$ và $(MNP)$. $\Rightarrow$ $NP$ là giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$. Vì $I$ là giao điểm của $CD$ và giao tuyến $NP$, nên $I$ phải nằm trên đường thẳng $NP$. Do đó, ba điểm $I, N, P$ phải thẳng hàng.X$d)$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ là đường thẳng qua điểm $P$ và song song với $AB$.Ta tìm giao tuyến $d$ của $(MNP)$ và $(ABD)$. Điểm chung thứ nhất: $P$ (vì $P \in BD \subset (ABD)$ và $P \in (MNP)$). Ta có $MN // AB$ (chứng minh ở câu a). $MN \subset (MNP)$ và $AB \subset (ABD)$. Do $MN // (ABD)$, theo định lý giao tuyến song song, giao tuyến $d$ phải đi qua $P$ và song song với $MN$. Vì $MN // AB$, nên giao tuyến $d$ cũng song song với $AB$.XBảng tổng hợpMệnh đềĐúngSai$a)~MN // (ABD).$X$b)~MP // CD.$X$c)$ Gọi $I=CD\cap(MNP),$ ba điểm $I,N,P$ thẳng hàng.X$d)$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ là đường thẳng qua điểm $P$ và song song với $AB$.XTôi