Câu $\rm 10.$

Phân tích các Mệnh đề về Hình chóp S.ABCD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD. I,J lần lượt là trọng tâm của △SAB và △SCD.

Mệnh đề Phân tích Đúng Sai
a)  
SE
SI
​
= 
SF
SJ
​
= 
3
2
​
. E là trung điểm AB. SE là trung tuyến của △SAB. I là trọng tâm △SAB. ⇒I thuộc SE và  
SE
SI
​
= 
3
2
​
. F là trung điểm CD. SF là trung tuyến của △SCD. J là trọng tâm △SCD. ⇒J thuộc SF và  
SF
SJ
​
= 
3
2
​
. X 
b) IJ//(ABCD). Ta cần chứng minh IJ song song với một đường thẳng nằm trong (ABCD). Ta xét △SEF (mặt phẳng phụ). E,F là trung điểm AB,CD. ⇒EF là một đường thẳng nằm trong (ABCD). Trong △SEF, ta có:  
SE
SI
​
= 
3
2
​
 (theo câu a) và  
SF
SJ
​
= 
3
2
​
 (theo câu a). ⇒ 
SE
SI
​
= 
SF
SJ
​
= 
3
2
​
. Áp dụng định lí Ta-lét đảo trong △SEF, ta suy ra IJ//EF. Vì E,F là trung điểm hai cạnh đối diện của hình bình hành, nên EF nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD). Vì IJ//EF và EF⊂(ABCD), nên IJ//(ABCD). X 
c) BC song song với mặt phẳng (SAD),(SEF). - BC//(SAD): Đáy ABCD là hình bình hành ⇒BC//AD. Mà AD⊂(SAD). Do đó BC//(SAD). - BC//(SEF): Ta có E,F là trung điểm AB,CD. ⇒EF//AD//BC. Do BC//EF và EF⊂(SEF), nên BC//(SEF). X 
d) BC cắt mặt phẳng (AIJ). Ta có AD//BC. Nếu BC cắt (AIJ) thì AD cũng phải cắt (AIJ) hoặc AD//(AIJ). IJ//EF. EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD. EF//BC. IJ//EF⇒IJ//BC. Nếu BC//(AIJ), điều này không xảy ra vì A là điểm chung. Xét mặt phẳng (ACD). A,J là hai điểm thuộc (ACD). BC và AC cắt nhau. Ta xét điểm K=BC∩AI. Nếu tồn tại giao điểm K, thì BC cắt (AIJ). Ta tìm giao tuyến của (AIJ) và (SBC). AI và BC là hai đường thẳng chéo nhau. Ta có IJ//EF. Mặt phẳng (SEF) chứa IJ. A∈(SEF)? Sai. Xét EF//BC. BC//(SEF). Nếu BC cắt (AIJ), giao điểm phải nằm trên BC. Thử chứng minh BC song song với (AIJ): Để BC//(AIJ), ta cần BC song song với một đường thẳng trong (AIJ) hoặc (AIJ) chứa BC. Giả sử AI cắt BC tại K. Điều này chỉ xảy ra nếu A,I,K thẳng hàng. I∈SE. K là giao điểm của AI và BC. BC không song song với AI (vì A ở đỉnh chóp, BC ở đáy). Ta có IJ//BC. ⇒ Mặt phẳng (AIJ) chứa IJ song song với BC. SAI! → Dùng vector:  
BC

= 
AC

− 
AB

= 
c

− 
b

.  
AI

, 
AJ

 là hai vector chỉ phương của (AIJ).  
AI

= 
3
2
​
 
AE

+ 
3
1
​
 
AS

= 
3
2
​
⋅ 
2
1
​
 
AB

+ 
3
1
​
 
AS

= 
3
1
​
 
b

+ 
3
1
​
 
s

.  
AJ

= 
3
2
​
 
AF

+ 
3
1
​
 
AS

.  
AF

= 
AD

+ 
DF

= 
d

+ 
2
1
​
 
DC

= 
d

+ 
2
1
​
 
AB

= 
d

+ 
2
1
​
 
b

.  
AJ

= 
3
2
​
( 
d

+ 
2
1
​
 
b

)+ 
3
1
​
 
s

= 
3
2
​
 
d

+ 
3
1
​
 
b

+ 
3
1
​
 
s

.  
BC

= 
d

(Kh 
o
ˆ
ng phải!) 
BC

= 
AD

= 
d

. Ta có  
BC

= 
AD

= 
d

. Vì  
d

 không phải là tổ hợp tuyến tính của  
AI

 và  
AJ

 (vì hệ số của  
d

 trong  
AI

 là 0, hệ số của  
d

 trong  
AJ

 là  
3
2
​
), và A không nằm trên BC, nên BC//(AIJ). ⇒ Mệnh đề BC cắt (AIJ) là sai.  X

Xuất sang Trang tính

Bảng tổng hợp
Mệnh đề Đúng Sai
a)  
SE
SI
​
= 
SF
SJ
​
= 
3
2
​
. X 
b) IJ//(ABCD). X 
c) BC song song với mặt phẳng (SAD),(SEF). X 
d) BC cắt mặt phẳng (AIJ).  X