giup minh voi

Câu 15: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số \( y = |x^3 - 3x^2 + 2| \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số gốc và miền xác định Hàm số gốc là \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). Miền xác định của \( f(x) \) là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số gốc Ta có: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] Bước 3: Tìm các điểm dừng Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số gốc - Khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, 0) \). - Khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (0, 2) \). - Khoảng \( (2, \infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (2, \infty) \). Bước 5: Xác định các điểm cực trị của hàm số gốc - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \] Hàm số có điểm cực đại tại \( (0, 2) \). - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] Hàm số có điểm cực tiểu tại \( (2, -2) \). Bước 6: Xét dấu của \( f(x) \) - Giải phương trình \( f(x) = 0 \): \[ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \] \[ (x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \pm \sqrt{3} \] - Khoảng \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 < 0 \] Hàm số \( y = |f(x)| = -f(x) \). - Khoảng \( (1 - \sqrt{3}, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f(0) = 2 > 0 \] Hàm số \( y = |f(x)| = f(x) \). - Khoảng \( (1, 1 + \sqrt{3}) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f(2) = -2 < 0 \] Hàm số \( y = |f(x)| = -f(x) \). - Khoảng \( (1 + \sqrt{3}, \infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f(3) = 27 - 27 + 2 = 2 > 0 \] Hàm số \( y = |f(x)| = f(x) \). Bước 7: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số \( y = |x^3 - 3x^2 + 2| \) - Khoảng đồng biến: \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1, 2) \cup (1 + \sqrt{3}, \infty) \) - Khoảng nghịch biến: \( (1 - \sqrt{3}, 1) \cup (2, 1 + \sqrt{3}) \) - Điểm cực trị: - Cực đại tại \( (0, 2) \) - Cực tiểu tại \( (2, 2) \) Đáp số: - Khoảng đồng biến: \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1, 2) \cup (1 + \sqrt{3}, \infty) \) - Khoảng nghịch biến: \( (1 - \sqrt{3}, 1) \cup (2, 1 + \sqrt{3}) \) - Điểm cực trị: - Cực đại tại \( (0, 2) \) - Cực tiểu tại \( (2, 2) \) Câu 16: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số \( y = |x^4 - 4x^2 + 3| \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số gốc và miền xác định Hàm số gốc là \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 \). Miền xác định của hàm này là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số gốc Ta có: \[ f'(x) = 4x^3 - 8x \] Bước 3: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) \[ 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{2} \] Bước 4: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng Chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -\sqrt{2}) \), \( (-\sqrt{2}, 0) \), \( (0, \sqrt{2}) \), và \( (\sqrt{2}, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -\sqrt{2}) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 4(-2)^3 - 8(-2) = -32 + 16 = -16 \quad (\text{âm}) \] - Trên khoảng \( (-\sqrt{2}, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 4(-1)^3 - 8(-1) = -4 + 8 = 4 \quad (\text{dương}) \] - Trên khoảng \( (0, \sqrt{2}) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 4(1)^3 - 8(1) = 4 - 8 = -4 \quad (\text{âm}) \] - Trên khoảng \( (\sqrt{2}, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 4(2)^3 - 8(2) = 32 - 16 = 16 \quad (\text{dương}) \] Bước 5: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\sqrt{2}, 0) \) và \( (\sqrt{2}, \infty) \). - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) và \( (0, \sqrt{2}) \). Bước 6: Xác định các điểm cực trị - Tại \( x = -\sqrt{2} \), \( f(x) \) đạt cực đại. - Tại \( x = 0 \), \( f(x) \) đạt cực tiểu. - Tại \( x = \sqrt{2} \), \( f(x) \) đạt cực đại. Bước 7: Xét hàm số \( y = |f(x)| \) Do \( y = |f(x)| \), chúng ta cần xét các trường hợp \( f(x) \geq 0 \) và \( f(x) < 0 \). Trường hợp 1: \( f(x) \geq 0 \) - \( y = f(x) \) - Các khoảng đồng biến và nghịch biến vẫn giữ nguyên như đã tìm ở trên. Trường hợp 2: \( f(x) < 0 \) - \( y = -f(x) \) - Đạo hàm của \( y \) là \( y' = -f'(x) \). - Dấu của \( y' \) sẽ ngược lại với dấu của \( f'(x) \). Kết luận cuối cùng - Hàm số \( y = |x^4 - 4x^2 + 3| \) đồng biến trên các khoảng \( (-\sqrt{2}, 0) \) và \( (\sqrt{2}, \infty) \). - Hàm số \( y = |x^4 - 4x^2 + 3| \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) và \( (0, \sqrt{2}) \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = -\sqrt{2} \) và \( x = \sqrt{2} \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). Câu 17: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số \( y = \left| \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right| \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền xác định Hàm số \( y = \left| \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right| \) có mẫu số \( x - 1 \). Do đó, \( x \neq 1 \). Vậy miền xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số Trước tiên, chúng ta xét hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \). Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 3x - 2x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Đạo hàm của \( y = |f(x)| \): Do \( y = |f(x)| \), chúng ta cần xét dấu của \( f(x) \) để tìm đạo hàm của \( y \). Bước 3: Xét dấu của \( f(x) \) \[ f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \] \[ f(x) = \frac{x(x + 3)}{x - 1} \] Ta thấy \( f(x) \) đổi dấu tại các điểm \( x = -3 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \). Bước 4: Xét khoảng đồng biến và nghịch biến Chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, \infty) \). Trên khoảng \( (-\infty, -3) \): \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Cả \( (x - 3) \) và \( (x + 1) \) đều âm, nên \( f'(x) > 0 \). Trên khoảng \( (-3, 0) \): \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] \( (x - 3) \) âm, \( (x + 1) \) dương, nên \( f'(x) < 0 \). Trên khoảng \( (0, 1) \): \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] \( (x - 3) \) âm, \( (x + 1) \) dương, nên \( f'(x) < 0 \). Trên khoảng \( (1, \infty) \): \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Cả \( (x - 3) \) và \( (x + 1) \) đều dương, nên \( f'(x) > 0 \). Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến - Hàm số \( y = \left| \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right| \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (1, \infty) \). - Hàm số \( y = \left| \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right| \) nghịch biến trên các khoảng \( (-3, 0) \) và \( (0, 1) \). Bước 6: Tìm cực trị - Tại \( x = -3 \), \( f(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( y \) có cực tiểu tại \( x = -3 \). - Tại \( x = 1 \), \( f(x) \) không xác định, nên không có cực trị tại đây. Kết luận - Hàm số \( y = \left| \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right| \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (1, \infty) \). - Hàm số \( y = \left| \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right| \) nghịch biến trên các khoảng \( (-3, 0) \) và \( (0, 1) \). - Hàm số có cực tiểu tại \( x = -3 \). Đáp số: - Đồng biến: \( (-\infty, -3) \) và \( (1, \infty) \) - Nghịch biến: \( (-3, 0) \) và \( (0, 1) \) - Cực tiểu: \( x = -3 \) Câu 18: Hàm số \( y = (m-1)x - 2 \) là một hàm số bậc nhất với hệ số góc là \( m-1 \). Để hàm số này đồng biến trên \( \mathbb{R} \), hệ số góc của nó phải dương, tức là: \[ m - 1 > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ m - 1 > 0 \] \[ m > 1 \] Vậy, các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = (m-1)x - 2 \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \) là: \[ m > 1 \] Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài \( AC \) sao cho thể tích của hình chóp tam giác \( S.ABC \) là lớn nhất. Bước 1: Xác định các yếu tố liên quan - Hình chóp \( S.ABC \) có đáy là tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( AB = 2 \, \text{m} \) và \( \angle BAC = 90^\circ \). - Đỉnh \( S \) cách đều các điểm \( A, B, C \) một đoạn bằng \( 3 \, \text{m} \), tức là \( SA = SB = SC = 3 \, \text{m} \). Bước 2: Tính thể tích hình chóp Thể tích của hình chóp \( S.ABC \) được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] - Diện tích đáy \( \triangle ABC \) là: \[ \text{diện tích} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times AC = AC \] - Chiều cao từ \( S \) xuống mặt phẳng \( (ABC) \) là khoảng cách từ \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \). Do \( SA = SB = SC = 3 \, \text{m} \), \( S \) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tam giác \( ABC \). Bước 3: Tìm điều kiện để thể tích lớn nhất Để thể tích lớn nhất, ta cần tối ưu hóa chiều cao từ \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \). Do \( S \) là tâm mặt cầu ngoại tiếp, chiều cao này chính là bán kính của mặt cầu trừ đi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là \( 3 \, \text{m} \). - Để tối ưu hóa, ta cần tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). Bước 4: Tính toán cụ thể Vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta có: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + AC^2} \] Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABC \), ta có: \[ BC = \sqrt{4 + AC^2} \] Để tối ưu hóa thể tích, ta cần tối ưu hóa diện tích tam giác \( ABC \) và chiều cao từ \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \). Bước 5: Kết luận Do \( S \) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác \( ABC \), để thể tích lớn nhất, tam giác \( ABC \) cần có diện tích lớn nhất với điều kiện \( SA = SB = SC = 3 \, \text{m} \). Với \( AB = 2 \, \text{m} \), để diện tích lớn nhất, \( AC \) cần đạt giá trị sao cho tam giác \( ABC \) có diện tích lớn nhất. Do đó, \( AC = 2 \, \text{m} \) để tam giác \( ABC \) là tam giác đều, tối ưu hóa diện tích. Vậy, độ dài \( AC \) bằng \( 2 \, \text{m} \). Câu 20: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm vị trí D trên đoạn BC sao cho tổng thời gian vận động viên X về đích C là nhỏ nhất. Gọi \( x \) là khoảng cách từ điểm D đến C (tính bằng km). Khi đó, khoảng cách từ B đến D là \( 15 - x \) km. 1. Tính quãng đường chèo thuyền AD: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có: \[ AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + (15-x)^2} = \sqrt{36 + (15-x)^2} \] 2. Tính thời gian chèo thuyền từ A đến D: Vận tốc chèo thuyền là 8 km/h, do đó thời gian chèo thuyền là: \[ t_1 = \frac{\sqrt{36 + (15-x)^2}}{8} \] 3. Tính thời gian chạy từ D đến C: Vận tốc chạy là 16 km/h, do đó thời gian chạy là: \[ t_2 = \frac{x}{16} \] 4. Tổng thời gian từ A đến C: Tổng thời gian \( T \) là: \[ T = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{36 + (15-x)^2}}{8} + \frac{x}{16} \] 5. Tìm giá trị \( x \) để \( T \) nhỏ nhất: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( T \), ta tính đạo hàm của \( T \) theo \( x \) và giải phương trình \( T'(x) = 0 \). \[ T'(x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{-(15-x)}{\sqrt{36 + (15-x)^2}} + \frac{1}{16} \] Giải phương trình: \[ \frac{-(15-x)}{8\sqrt{36 + (15-x)^2}} + \frac{1}{16} = 0 \] \[ \frac{-(15-x)}{\sqrt{36 + (15-x)^2}} = -\frac{1}{2} \] \[ 2(15-x) = \sqrt{36 + (15-x)^2} \] Bình phương hai vế: \[ 4(15-x)^2 = 36 + (15-x)^2 \] \[ 3(15-x)^2 = 36 \] \[ (15-x)^2 = 12 \] \[ 15-x = \pm \sqrt{12} \] \[ 15-x = 2\sqrt{3} \quad \text{(vì \( x \leq 15 \))} \] \[ x = 15 - 2\sqrt{3} \] Vậy, vận động viên X nên chèo thuyền về bờ tại vị trí D cách đích C là \( 15 - 2\sqrt{3} \) km để tổng thời gian về đích là sớm nhất. Câu 21: Để giải bài toán này, ta cần tối thiểu hóa diện tích bề mặt của bể, vì diện tích bề mặt tỷ lệ thuận với lượng nguyên vật liệu cần dùng. Bể có thể tích $V = 18 \, \text{m}^3$ và đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Gọi chiều rộng của đáy bể là $x$ (m), khi đó chiều dài của đáy bể là $3x$ (m). Chiều cao của bể là $h$ (m). Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của bể được cho bởi: \[ V = x \cdot 3x \cdot h = 3x^2h = 18 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{18}{3x^2} = \frac{6}{x^2} \] Bước 2: Thiết lập hàm diện tích bề mặt Diện tích bề mặt của bể (không có nắp) bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên: \[ S = x \cdot 3x + 2(x \cdot h) + 2(3x \cdot h) \] \[ = 3x^2 + 2xh + 6xh \] \[ = 3x^2 + 8xh \] Thay $h = \frac{6}{x^2}$ vào biểu thức diện tích: \[ S = 3x^2 + 8x \cdot \frac{6}{x^2} \] \[ = 3x^2 + \frac{48}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm diện tích Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$, ta tính đạo hàm của $S$ theo $x$ và tìm nghiệm của phương trình $S'(x) = 0$. Tính đạo hàm: \[ S'(x) = 6x - \frac{48}{x^2} \] Giải phương trình $S'(x) = 0$: \[ 6x - \frac{48}{x^2} = 0 \] \[ 6x^3 = 48 \] \[ x^3 = 8 \] \[ x = 2 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện cực trị Ta cần kiểm tra xem $x = 2$ có phải là điểm cực tiểu không bằng cách xét dấu của $S'(x)$ hoặc tính đạo hàm bậc hai $S''(x)$. Tính đạo hàm bậc hai: \[ S''(x) = 6 + \frac{96}{x^3} \] Với $x = 2$, ta có: \[ S''(2) = 6 + \frac{96}{8} = 6 + 12 = 18 > 0 \] Vì $S''(2) > 0$, nên $S(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 2$. Bước 5: Tính chiều cao $h$ Thay $x = 2$ vào biểu thức của $h$: \[ h = \frac{6}{x^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy, chiều cao $h$ cần xây là $\frac{3}{2}$ mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất. Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( g(x) = f(3-2x) + 2024 \), ta cần tìm điều kiện để đạo hàm của \( g(x) \) dương. 1. Tính đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}[f(3-2x) + 2024] = f'(3-2x) \cdot (-2) \] Do đó: \[ g'(x) = -2f'(3-2x) \] 2. Điều kiện để \( g(x) \) đồng biến: Hàm số \( g(x) \) đồng biến khi \( g'(x) > 0 \). \[ -2f'(3-2x) > 0 \implies f'(3-2x) < 0 \] 3. Xác định khoảng mà \( f'(3-2x) < 0 \): Từ đồ thị \( y = f'(x) \), ta thấy \( f'(x) < 0 \) khi \( x \in (0, 2) \). Đặt \( u = 3-2x \), ta có: \[ f'(u) < 0 \implies u \in (0, 2) \] Giải bất phương trình: \[ 0 < 3-2x < 2 \] - \( 0 < 3-2x \) cho ta \( x < \frac{3}{2} \). - \( 3-2x < 2 \) cho ta \( x > \frac{1}{2} \). Kết hợp lại, ta có: \[ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \] 4. Chọn đáp án: Khoảng \( \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \) tương ứng với đáp án \( B.~\left(\frac{1}{2}; 1\right) \). Vậy, hàm số \( g(x) \) đồng biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{2}; 1\right) \). Câu 2: Để tìm liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho hàm số \( f(x) = 0,025x^2(30 - x) \) đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Tìm đạo hàm của \( f(x) \). \[ f(x) = 0,025x^2(30 - x) \] \[ f(x) = 0,025(30x^2 - x^3) \] Đạo hàm \( f(x) \): \[ f'(x) = 0,025 \cdot \frac{d}{dx}(30x^2 - x^3) \] \[ f'(x) = 0,025 \cdot (60x - 3x^2) \] \[ f'(x) = 0,025 \cdot 3x(20 - x) \] \[ f'(x) = 0,075x(20 - x) \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm dừng. \[ 0,075x(20 - x) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 20 - x = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 20 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm dừng và tại các biên của khoảng xác định. Khoảng xác định của \( x \) là từ 0 đến 30. \[ f(0) = 0,025 \cdot 0^2 \cdot (30 - 0) = 0 \] \[ f(20) = 0,025 \cdot 20^2 \cdot (30 - 20) = 0,025 \cdot 400 \cdot 10 = 100 \] \[ f(30) = 0,025 \cdot 30^2 \cdot (30 - 30) = 0 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất. \[ f(0) = 0 \] \[ f(20) = 100 \] \[ f(30) = 0 \] Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) là 100, đạt được khi \( x = 20 \). Vậy liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 miligam. Đáp án: A. 20 miligam. Câu 3: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = (x+2)(x-1)^2 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là \( y = (x+2)(x-1)^2 \). Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x+2)'(x-1)^2 + (x+2)((x-1)^2)' \] Tính từng phần: - \((x+2)' = 1\) - \((x-1)^2' = 2(x-1)\) Thay vào công thức: \[ y' = 1 \cdot (x-1)^2 + (x+2) \cdot 2(x-1) \] \[ y' = (x-1)^2 + 2(x+2)(x-1) \] \[ y' = (x-1)^2 + 2(x^2 + x - 2) \] \[ y' = (x-1)^2 + 2x^2 + 2x - 4 \] \[ y' = x^2 - 2x + 1 + 2x^2 + 2x - 4 \] \[ y' = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm - \( y' = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) \) Xét dấu của \( y' \): - \( y' > 0 \) khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \) - \( y' < 0 \) khi \( -1 < x < 1 \) Bước 3: Kết luận - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty, -1)\) và \((1, +\infty)\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). Do đó, mệnh đề đúng là: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). Câu 4: Để tìm thời điểm mà tốc độ bán hàng là lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \). Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \) Hàm số \( f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \) có dạng phân số, do đó ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \right) = \frac{(1 + 5e^{-t}) \cdot 0 - 5000 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} \] Tính đạo hàm của \( 1 + 5e^{-t} \): \[ \frac{d}{dt}(1 + 5e^{-t}) = 0 + 5 \cdot (-e^{-t}) = -5e^{-t} \] Thay vào biểu thức đạo hàm: \[ f'(t) = \frac{-5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \), ta cần tìm nghiệm của phương trình \( f''(t) = 0 \) và kiểm tra dấu của \( f''(t) \). Tính đạo hàm bậc hai \( f''(t) \): \[ f''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số: \[ f''(t) = \frac{(1 + 5e^{-t})^2 \cdot (-25000e^{-t}) - 25000e^{-t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 5e^{-t})^2)}{(1 + 5e^{-t})^4} \] Tính đạo hàm của \( (1 + 5e^{-t})^2 \): \[ \frac{d}{dt}((1 + 5e^{-t})^2) = 2(1 + 5e^{-t})(-5e^{-t}) = -10e^{-t}(1 + 5e^{-t}) \] Thay vào biểu thức đạo hàm bậc hai: \[ f''(t) = \frac{(1 + 5e^{-t})^2 \cdot (-25000e^{-t}) - 25000e^{-t} \cdot (-10e^{-t}(1 + 5e^{-t}))}{(1 + 5e^{-t})^4} \] Rút gọn: \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t})^2 + 250000e^{-2t}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t}) + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] Đặt \( f''(t) = 0 \) và giải phương trình: \[ -25000e^{-t}(1 + 5e^{-t}) + 250000e^{-2t} = 0 \] Chia cả hai vế cho \( 25000e^{-t} \): \[ -(1 + 5e^{-t}) + 10e^{-t} = 0 \] \[ 1 + 5e^{-t} = 10e^{-t} \] \[ 1 = 5e^{-t} \] \[ e^{-t} = \frac{1}{5} \] Lấy logarit hai vế: \[ -t = \ln\left(\frac{1}{5}\right) \] \[ t = -\ln\left(\frac{1}{5}\right) = \ln(5) \] Tính giá trị \( \ln(5) \approx 1.609 \). Vậy tốc độ bán hàng là lớn nhất sau khoảng \( 1.6 \) năm. Do đó, đáp án đúng là D. 1,6 năm. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm hiểu về vận tốc và gia tốc của chất điểm. 1. Tính vận tốc \( v(t) \): Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của hàm số tọa độ \( x(t) \) theo thời gian \( t \). Do đó, ta có: \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) = 3t^2 - 12t + 9. \] 2. Tính gia tốc \( a(t) \): Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \). Do đó, ta có: \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12. \] 3. Xét dấu của gia tốc \( a(t) \): Để xác định khoảng thời gian mà vận tốc tăng hay giảm, ta cần xét dấu của gia tốc \( a(t) \). - Gia tốc \( a(t) = 6t - 12 \) bằng 0 khi: \[ 6t - 12 = 0 \implies t = 2. \] - Xét dấu của \( a(t) \) trên các khoảng: - Khi \( t < 2 \), \( a(t) = 6t - 12 < 0 \) (vận tốc giảm). - Khi \( t > 2 \), \( a(t) = 6t - 12 > 0 \) (vận tốc tăng). 4. Kết luận: - Vận tốc của chất điểm giảm trong khoảng thời gian \( t \in (0, 2) \). - Vận tốc của chất điểm tăng trong khoảng thời gian \( t \in (2, \infty) \). Do đó, đáp án đúng là D. Vận tốc tăng trong khoảng thời gian \( t \in (2, 10) \) và giảm trong khoảng thời gian \( t \in (0, 2) \). Câu 6: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm khoảng giá trị của \( n \) để hàm số \( P(n) = 480 - 20n \) tăng. Đầu tiên, ta sẽ xét đạo hàm của hàm số \( P(n) \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( P(n) \) Hàm số \( P(n) = 480 - 20n \) là một hàm số bậc nhất, do đó đạo hàm của nó là: \[ P'(n) = -20 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm Vì \( P'(n) = -20 < 0 \) với mọi \( n \), nên hàm số \( P(n) \) luôn luôn giảm trên toàn bộ miền xác định của nó. Bước 3: Kết luận Do hàm số \( P(n) \) luôn giảm, không có khoảng nào mà hàm số này tăng. Tuy nhiên, để trả lời câu hỏi của bài toán, ta cần xác định khoảng giá trị của \( n \) sao cho hàm số giảm, tức là không có khoảng nào mà hàm số tăng. Vì vậy, không có khoảng nào trong các lựa chọn \( A, B, C, D \) mà hàm số \( P(n) \) tăng. Tuy nhiên, nếu cần chọn một khoảng để hàm số giảm, thì bất kỳ khoảng nào trong các lựa chọn đều thỏa mãn điều kiện này. Do đó, câu trả lời chính xác là không có khoảng nào trong các lựa chọn để hàm số tăng.