Cho biểu thức $C=\frac{a}{a-16}-\frac{2}{\sqrt{a}-4}-\frac{2}{\sqrt{a}+4}$ với $a\ge0;a \ne 16$ a. Rút gọn $C$ b. Tính giá trị của biểu thức $C$ khi $a=25$ c. So sánh $C$ với $1$ d. Tìm GTNN của $C$

Hàng Tuấn Anh

a, $C = \frac{a}{a - 16} - \frac{2}{\sqrt{a} - 4} - \frac{2}{\sqrt{a} + 4}$

$C = \frac{a}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)} - \frac{2(\sqrt{a} + 4)}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)} - \frac{2(\sqrt{a} - 4)}{(\sqrt{a} + 4)(\sqrt{a} - 4)}$

$C = \frac{a - 2(\sqrt{a} + 4) - 2(\sqrt{a} - 4)}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)}$

$C = \frac{a - (2\sqrt{a} + 8) - (2\sqrt{a} - 8)}{a - 16}$

$C = \frac{a - 2\sqrt{a} - 8 - 2\sqrt{a} + 8}{a - 16}$

$C = \frac{a + (-2\sqrt{a} - 2\sqrt{a}) + (-8 + 8)}{a - 16}$

$C = \frac{a - 4\sqrt{a}}{a - 16}$

$C = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 4)}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)}$

$C = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4}$

b, Thay $a = 25$ (thỏa mãn $a \ge 0, a \ne 16$) vào biểu thức đã rút gọn, ta được:

$\begin{aligned} C & = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{25} + 4} \\ & = \frac{5}{5 + 4} \\ & = \frac{5}{9} \end{aligned}$

c, Ta xét hiệu $C - 1$, ta được:

$C - 1 = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - 1$

$C - 1 = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 4}$

$C - 1 = \frac{\sqrt{a} - (\sqrt{a} + 4)}{\sqrt{a} + 4}$

$C - 1 = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a} - 4}{\sqrt{a} + 4}$

$C - 1 = \frac{-4}{\sqrt{a} + 4}$

Với điều kiện $a \ge 0$, ta có $\sqrt{a} \ge 0$, do đó $\sqrt{a} + 4 > 0$.

Tử số là $-4$ (số âm).

Mẫu số là $\sqrt{a} + 4$ (số dương).

Vậy $C - 1 = \frac{-4}{\sqrt{a} + 4} < 0$.

Do $C - 1 < 0$, suy ra $C < 1$.

d, Ta có biểu thức $C = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4}$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể viết lại $C$ như sau:

$C = \frac{\sqrt{a} + 4 - 4}{\sqrt{a} + 4}$

$C = \frac{\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 4} - \frac{4}{\sqrt{a} + 4}$

$C = 1 - \frac{4}{\sqrt{a} + 4}$

 $C$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{4}{\sqrt{a} + 4}$ đạt giá trị lớn nhất.

Do $a \ge 0$, ta có $\sqrt{a} \ge 0$.

Giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{a}$ là $0$, đạt được khi $a = 0$.

Khi $\sqrt{a}$ nhỏ nhất (bằng 0), thì $\sqrt{a} + 4$ nhỏ nhất (bằng 4).

Giá trị nhỏ nhất của $\frac{4}{\sqrt{a} + 4}$ là $\frac{4}{0 + 4} = 1$.

Dấu "=" xảy ra khi: x = 0