Công thức tính phương sai của mẫu và của tổng thể khác nhau thế nào?

Question

Timi · Accepted Answer

Phương sai của mẫu và phương sai của tổng thể đều đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng chúng có sự khác biệt về công thức tính do mục đích sử dụng khác nhau.

1. Phương sai của tổng thể (Population Variance):
   - Công thức tính phương sai của tổng thể là:
     $$
     \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}
     $$
   - Trong đó:
     - $ \sigma^2 $ là phương sai của tổng thể.
     - $ x_i $ là các giá trị trong tổng thể.
     - $ \mu $ là trung bình của tổng thể.
     - $ N $ là số lượng phần tử trong tổng thể.

2. Phương sai của mẫu (Sample Variance):
   - Công thức tính phương sai của mẫu là:
     $$
     s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}
     $$
   - Trong đó:
     - $ s^2 $ là phương sai của mẫu.
     - $ x_i $ là các giá trị trong mẫu.
     - $ \bar{x} $ là trung bình của mẫu.
     - $ n $ là số lượng phần tử trong mẫu.

3. Lý do khác biệt:
   - Phương sai của tổng thể chia cho $ N $ vì nó sử dụng tất cả các phần tử trong tổng thể để tính toán.
   - Phương sai của mẫu chia cho $ n-1 $ thay vì $ n $ để bù đắp cho việc sử dụng một phần tử để ước lượng trung bình mẫu ($ \bar{x} $). Điều này giúp phương sai của mẫu trở thành một ước lượng không chệch của phương sai của tổng thể.

Tóm lại, phương sai của tổng thể chia cho $ N $ còn phương sai của mẫu chia cho $ n-1 $ để đảm bảo tính không chệch của ước lượng.