Người ta cần sơn hai loại sản phẩm A, B bằng hai loại sơn: sơn xanh, sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở Bảng 3 (đơn vị: kg/1 sản phẩm). Người ta dự định sử dụng không quán 12 kg sơn xanh và không quá 8 kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại đó. Mỗi sản phẩm loại A lãi 10 triệu đồng và mỗi sản phẩm loại B lãi 8 triệu đồng. Tính khối lượng sản phẩm từng loại cần sơn sao cho số tiền lãi thu được là lớn nhất.

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và tối ưu hóa hàm mục tiêu.

Bước 1: Đặt ẩn số
Gọi $ x $ là số sản phẩm loại A cần sơn.
Gọi $ y $ là số sản phẩm loại B cần sơn.

Bước 2: Xác định các ràng buộc
Theo đề bài, chúng ta có các ràng buộc về lượng sơn:
- Sơn xanh: $ 2x + 3y \leq 12 $
- Sơn vàng: $ 1x + 2y \leq 8 $

Bước 3: Hàm mục tiêu
Mỗi sản phẩm loại A lãi 10 triệu đồng và mỗi sản phẩm loại B lãi 8 triệu đồng. Do đó, tổng số tiền lãi $ L $ sẽ là:
$$ L = 10x + 8y $$

Bước 4: Tìm miền khả thi
Miền khả thi là tập hợp các điểm $(x, y)$ thỏa mãn các ràng buộc trên. Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất đẳng thức và xác định miền khả thi.

1. Đường thẳng $ 2x + 3y = 12 $:
   - Khi $ x = 0 $, $ y = 4 $
   - Khi $ y = 0 $, $ x = 6 $

2. Đường thẳng $ x + 2y = 8 $:
   - Khi $ x = 0 $, $ y = 4 $
   - Khi $ y = 0 $, $ x = 8 $

Bước 5: Xác định các đỉnh của miền khả thi
Các đỉnh của miền khả thi là giao điểm của các đường thẳng trên:
- Giao điểm của $ 2x + 3y = 12 $ và $ x + 2y = 8 $:
  $$
  \begin{cases}
  2x + 3y = 12 \
  x + 2y = 8
  \end{cases}
  $$
  Giải hệ phương trình:
  $$
  \begin{cases}
  2x + 3y = 12 \
  x = 8 - 2y
  \end{cases}
  $$
  Thay $ x = 8 - 2y $ vào phương trình đầu tiên:
  $$
  2(8 - 2y) + 3y = 12 \
  16 - 4y + 3y = 12 \
  16 - y = 12 \
  y = 4
  $$
  Thay $ y = 4 $ vào $ x = 8 - 2y $:
  $$
  x = 8 - 2(4) = 0
  $$
  Vậy giao điểm là $(0, 4)$.

- Giao điểm của $ 2x + 3y = 12 $ và trục $ x $:
  $$
  y = 0 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6
  $$
  Vậy giao điểm là $(6, 0)$.

- Giao điểm của $ x + 2y = 8 $ và trục $ x $:
  $$
  y = 0 \Rightarrow x = 8
  $$
  Vậy giao điểm là $(8, 0)$.

Bước 6: Tối ưu hóa hàm mục tiêu
Chúng ta sẽ tính giá trị của $ L = 10x + 8y $ tại các đỉnh của miền khả thi:
- Tại $(0, 4)$:
  $$
  L = 10(0) + 8(4) = 32 \text{ triệu đồng}
  $$
- Tại $(6, 0)$:
  $$
  L = 10(6) + 8(0) = 60 \text{ triệu đồng}
  $$
- Tại $(8, 0)$:
  $$
  L = 10(8) + 8(0) = 80 \text{ triệu đồng}
  $$

Bước 7: Kết luận
Giá trị lớn nhất của $ L $ là 80 triệu đồng, đạt được khi $ x = 8 $ và $ y = 0 $.

Vậy, để số tiền lãi thu được là lớn nhất, người ta cần sơn 8 sản phẩm loại A và 0 sản phẩm loại B.

Người ta cần sơn hai loại sản phẩm A, B bằng hai loại sơn: sơn xanh, sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở Bảng 3 (đơn vị: kg/1 sản phẩm). Người ta dự định sử dụng không quán 12 kg...