giải dùm i

Để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đã nêu trong đề bài. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần: 1. Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản a) Đạo hàm của \(x^n\) \[ (x^n)' = nx^{n-1} \] b) Đạo hàm của \(u^n\) (với \(u = u(x)\)) \[ (u^n)' = nu^{n-1} \cdot u' \] c) Đạo hàm của \(e^x\) \[ (e^x)' = e^x \] d) Đạo hàm của \(a^x\) (với \(a > 0, a \neq 1\)) \[ (a^x)' = a^x \ln(a) \] e) Đạo hàm của \(\ln(x)\) \[ (\ln(x))' = \frac{1}{x} \] f) Đạo hàm của \(\sin(x)\) \[ (\sin(x))' = \cos(x) \] g) Đạo hàm của \(\cos(x)\) \[ (\cos(x))' = -\sin(x) \] h) Đạo hàm của \(\tan(x)\) \[ (\tan(x))' = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \] i) Đạo hàm của \(\cot(x)\) \[ (\cot(x))' = -\csc^2(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)} \] 2. Quy tắc tính đạo hàm a) Đạo hàm của tổng và hiệu \[ (u \pm v)' = u' \pm v' \] b) Đạo hàm của tích \[ (uv)' = u'v + uv' \] \[ (ku)' = ku' \quad \text{(với \(k\) là hằng số)} \] c) Đạo hàm của thương \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad \text{(với \(v \neq 0\))} \] \[ \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \quad \text{(với \(v \neq 0\))} \] 3. Đạo hàm của hàm hợp Nếu \(y = f(u)\) với \(u = u(x)\), thì: \[ y'_x = f'(u) \cdot u'(x) \] Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính đạo hàm của \(y = (x^2 + 1)^3\) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: \[ y = (x^2 + 1)^3 \] \[ u = x^2 + 1 \] \[ y = u^3 \] Đạo hàm \(u\): \[ u' = 2x \] Đạo hàm \(y\) theo \(u\): \[ \frac{dy}{du} = 3u^2 \] Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: \[ y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2x = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 \] Vậy: \[ y' = 6x(x^2 + 1)^2 \] Ví dụ 2: Tính đạo hàm của \(y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\) Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \] \[ u = x^2 + 1 \] \[ v = x - 1 \] Đạo hàm \(u\) và \(v\): \[ u' = 2x \] \[ v' = 1 \] Theo quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] Vậy: \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] Hy vọng những lời giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp và quy tắc tính đạo hàm. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, hãy để lại bình luận nhé!