giải chi tiết các câu này giúp mình với

Để tìm số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)\) và \(\overrightarrow{v} = (-3; 4; -5)\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ trong không gian: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot (-3) + (-1) \cdot 4 + 1 \cdot (-5) = -6 - 4 - 5 = -15 \] Bước 2: Tính độ dài của các vectơ \(\|\overrightarrow{u}\|\) và \(\|\overrightarrow{v}\|\): \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Bước 3: Tính \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{-15}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-15}{5\sqrt{12}} = \frac{-15}{10\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} \] Rút gọn tiếp: \[ \cos \theta = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 4: Xác định góc \(\theta\): Với \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có \(\theta = 150^\circ\). Vậy số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là \(150^\circ\). Đáp án đúng là \(D.~150^\circ\). Câu 11: Để tìm tọa độ của trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác trong không gian. Trọng tâm \( G \) có tọa độ là trung bình cộng của các tọa độ của ba đỉnh \( A, B, C \). Cho các điểm: - \( A(-1; 0; 2) \) - \( B(4; -5; 1) \) - \( C(0; 2; 3) \) Tọa độ của trọng tâm \( G(x_G, y_G, z_G) \) được tính như sau: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{-1 + 4 + 0}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 - 5 + 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \] \[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy tọa độ của trọng tâm \( G \) là \( (1; -1; 2) \). Do đó, đáp án đúng là \( A. (1; -1; 2) \). Câu 12: Để tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi M là trung điểm của đường chéo AC và N là trung điểm của đường chéo BD. Theo tính chất của hình bình hành, ta có \( M = N \). Bước 1: Tính tọa độ trung điểm M của AC Tọa độ của A là \((-2; 3; 1)\) và tọa độ của C là \((6; 5; 0)\). Tọa độ trung điểm M của AC là: \[ M\left(\frac{-2 + 6}{2}; \frac{3 + 5}{2}; \frac{1 + 0}{2}\right) = (2; 4; 0.5) \] Bước 2: Tính tọa độ trung điểm N của BD Giả sử tọa độ của D là \((x; y; z)\). Tọa độ của B là \((-7; 6; 3)\). Tọa độ trung điểm N của BD là: \[ N\left(\frac{-7 + x}{2}; \frac{6 + y}{2}; \frac{3 + z}{2}\right) \] Bước 3: Đặt điều kiện M = N Vì M và N là trung điểm của hai đường chéo và M = N, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{-7 + x}{2} = 2 \\ \frac{6 + y}{2} = 4 \\ \frac{3 + z}{2} = 0.5 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên: 1. \(\frac{-7 + x}{2} = 2 \Rightarrow -7 + x = 4 \Rightarrow x = 11\) 2. \(\frac{6 + y}{2} = 4 \Rightarrow 6 + y = 8 \Rightarrow y = 2\) 3. \(\frac{3 + z}{2} = 0.5 \Rightarrow 3 + z = 1 \Rightarrow z = -2\) Vậy tọa độ của D là \((11; 2; -2)\). Kết luận: Tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD là \(D(11; 2; -2)\). Câu 1: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \) có mẫu số là \( x - 1 \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] b) Tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x-1) \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{x - 1 - (x + 1)}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Ta thấy rằng \( y' = \frac{-2}{(x-1)^2} \) luôn âm (nhỏ hơn 0) vì tử số là -2 và mẫu số là bình phương của một số thực khác 0, do đó luôn dương. Vậy hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (1; +\infty) \). c) Tiệm cận của đồ thị: - Tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( x = 1 \). Do đó, tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 1 \). - Tiệm cận ngang: Ta tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+1}{x-1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 1 \] Do đó, tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = 1 \). d) Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: - Giao điểm với trục \( Ox \) (y = 0): \[ \frac{x+1}{x-1} = 0 \] \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] Vậy giao điểm với trục \( Ox \) là \( A(-1; 0) \). - Giao điểm với trục \( Oy \) (x = 0): \[ y = \frac{0+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Vậy giao điểm với trục \( Oy \) là \( B(0; -1) \). Tóm lại: a) Tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (1; +\infty) \). c) Tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 1 \) và tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = 1 \). d) Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại \( A(-1; 0) \) và trục \( Oy \) tại \( B(0; -1) \). Câu 2: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Tìm điều kiện xác định và biểu thức cho chiều cao \( h \): - Tổng diện tích bề mặt của hình hộp là \( 108 \, \text{cm}^2 \). Diện tích bề mặt bao gồm diện tích đáy và bốn mặt bên: \[ x^2 + 4xh = 108 \] - Giải phương trình trên để tìm \( h \): \[ h = \frac{108 - x^2}{4x} \] - Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( h > 0 \). Từ \( h > 0 \), ta có: \[ \frac{108 - x^2}{4x} > 0 \Rightarrow 108 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 108 \Rightarrow x < \sqrt{108} \] - Vậy điều kiện là \( 0 < x < \sqrt{108} \). b) Biểu thức thể tích của hình hộp: - Thể tích \( V \) của hình hộp là: \[ V = x^2 \cdot h = x^2 \cdot \frac{108 - x^2}{4x} = \frac{108x - x^3}{4} \] c) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: - Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta xét hàm số: \[ V(x) = \frac{108x - x^3}{4} \] - Tính đạo hàm \( V'(x) \): \[ V'(x) = \frac{108 - 3x^2}{4} \] - Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ \frac{108 - 3x^2}{4} = 0 \Rightarrow 108 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6 \] - Kiểm tra điều kiện \( 0 < x < \sqrt{108} \), ta thấy \( x = 6 \) thỏa mãn. - Tính \( V''(x) \) để kiểm tra tính cực trị: \[ V''(x) = \frac{-6x}{4} = -\frac{3x}{2} \] - Tại \( x = 6 \), \( V''(6) = -\frac{3 \times 6}{2} = -9 < 0 \), do đó \( V(x) \) đạt cực đại tại \( x = 6 \). - Vậy thể tích lớn nhất là: \[ V_{\text{max}} = \frac{108 \times 6 - 6^3}{4} = \frac{648 - 216}{4} = 108 \, \text{cm}^3 \] d) Tính chiều cao khi thể tích lớn nhất: - Khi \( x = 6 \), chiều cao \( h \) là: \[ h = \frac{108 - 6^2}{4 \times 6} = \frac{108 - 36}{24} = \frac{72}{24} = 3 \, \text{cm} \] Kết luận: Thể tích lớn nhất của hình hộp là \( 108 \, \text{cm}^3 \), đạt được khi \( x = 6 \, \text{cm} \) và chiều cao \( h = 3 \, \text{cm} \).