Giúp em câu 60 với sắp liệm tới nơi rồi

Câu 58: Giải quyết câu hỏi về thống kê a) Tìm mốt của mẫu số liệu trên Mốt của một mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu đó. - Số vận động viên trong khoảng thời gian [0; 2): 3 - Số vận động viên trong khoảng thời gian [2; 4): 8 - Số vận động viên trong khoảng thời gian [4; 6): 12 - Số vận động viên trong khoảng thời gian [6; 8): 12 - Số vận động viên trong khoảng thời gian [8; 10): 4 Như vậy, số vận động viên trong các khoảng thời gian [4; 6) và [6; 8) đều là 12, là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Do đó, mốt của mẫu số liệu này là: \[ \text{Mốt} = [4; 6) \text{ hoặc } [6; 8) \] b) Ước lượng thời gian luyện tập trung bình của các vận động viên Để ước lượng thời gian luyện tập trung bình, ta sẽ tính giá trị trung bình của các khoảng thời gian đã cho. - Khoảng [0; 2): Giá trị đại diện là 1 - Khoảng [2; 4): Giá trị đại diện là 3 - Khoảng [4; 6): Giá trị đại diện là 5 - Khoảng [6; 8): Giá trị đại diện là 7 - Khoảng [8; 10): Giá trị đại diện là 9 Tổng số vận động viên là 39. Ta tính tổng thời gian luyện tập của tất cả các vận động viên: \[ \begin{align} (1 \times 3) + (3 \times 8) + (5 \times 12) + (7 \times 12) + (9 \times 4) &= 3 + 24 + 60 + 84 + 36 \\ &= 207 \end{align} \] Thời gian luyện tập trung bình là: \[ \text{Trung bình} = \frac{207}{39} = 5.31 \text{ giờ} \] c) Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu đó Tứ phân vị chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau. Ta sẽ tìm Q1 (phân vị thứ nhất), Q2 (trung vị), và Q3 (phân vị thứ ba). Tổng số vận động viên là 39, nên ta có thể chia mẫu số liệu thành 4 phần như sau: - Q1 nằm ở vị trí thứ 10 (vì 39/4 ≈ 9.75, làm tròn lên) - Q2 nằm ở vị trí thứ 20 (vì 39/2 = 19.5, làm tròn lên) - Q3 nằm ở vị trí thứ 30 (vì 39 × 3/4 ≈ 29.25, làm tròn lên) Bây giờ ta sẽ xác định các giá trị này từ bảng dữ liệu: - Khoảng [0; 2): 3 vận động viên (vị trí 1 đến 3) - Khoảng [2; 4): 8 vận động viên (vị trí 4 đến 11) - Khoảng [4; 6): 12 vận động viên (vị trí 12 đến 23) - Khoảng [6; 8): 12 vận động viên (vị trí 24 đến 35) - Khoảng [8; 10): 4 vận động viên (vị trí 36 đến 39) - Q1 nằm trong khoảng [2; 4) tại vị trí thứ 10. - Q2 nằm trong khoảng [4; 6) tại vị trí thứ 20. - Q3 nằm trong khoảng [6; 8) tại vị trí thứ 30. Do đó, các giá trị tứ phân vị là: \[ Q1 = 3, \quad Q2 = 5, \quad Q3 = 7 \] Câu 59: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh rằng \((OMN) \parallel (SBC)\) 1. Xác định các điểm trung điểm: - \(M\) là trung điểm của \(SA\), do đó \(SM = \frac{1}{2}SA\). - \(N\) là trung điểm của \(SD\), do đó \(SN = \frac{1}{2}SD\). 2. Xác định điểm \(O\): - \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) trong hình bình hành \(ABCD\), do đó \(O\) là trung điểm của cả \(AC\) và \(BD\). 3. Chứng minh \((OMN) \parallel (SBC)\): - Xét hai tam giác \(\triangle SOM\) và \(\triangle SBC\): - \(M\) là trung điểm của \(SA\), nên \(OM \parallel BC\) và \(OM = \frac{1}{2}BC\). - \(N\) là trung điểm của \(SD\), nên \(ON \parallel SC\) và \(ON = \frac{1}{2}SC\). - Do đó, \((OMN)\) là mặt phẳng đi qua các trung điểm của các cạnh tương ứng của \(\triangle SBC\), nên \((OMN) \parallel (SBC)\). b) Chứng minh \(EF \parallel (SBC)\) 1. Xác định điểm \(E\): - \(E\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(AE = EB\). 2. Xác định điểm \(F\): - \(F\) là một điểm thuộc \(ON\), với \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(N\) là trung điểm của \(SD\). 3. Chứng minh \(EF \parallel (SBC)\): - Vì \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) thuộc \(ON\), mà \(ON \parallel SC\) (từ phần a), nên \(EF\) song song với \(SC\). - Do đó, \(EF \parallel (SBC)\) vì \(EF\) song song với một đường thẳng trong mặt phẳng \((SBC)\). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Câu 60: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước chứng minh hình học không gian. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán: a) Chứng minh: (OLJ) // (SAB) Bước 1: Xác định các điểm và mặt phẳng liên quan - Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với tâm O. - I là trung điểm của AD, J là trung điểm của SA. - Mặt phẳng (OLJ) là mặt phẳng đi qua O, L, J. - Mặt phẳng (SAB) là mặt phẳng đi qua S, A, B. Bước 2: Chứng minh (OLJ) // (SAB) - Do I là trung điểm của AD, nên vector \(\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OD}\). - J là trung điểm của SA, nên vector \(\overrightarrow{OJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS}\). - Xét vector \(\overrightarrow{OL}\) là một vector trong mặt phẳng (OLJ). - Xét vector \(\overrightarrow{SA}\) và \(\overrightarrow{SB}\) là hai vector trong mặt phẳng (SAB). Để chứng minh (OLJ) // (SAB), ta cần chứng minh rằng các vector chỉ phương của hai mặt phẳng này là đồng phẳng. - Vector \(\overrightarrow{OL}\) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{OI}\) và \(\overrightarrow{OJ}\). - Vector \(\overrightarrow{SA}\) và \(\overrightarrow{SB}\) là hai vector chỉ phương của mặt phẳng (SAB). Do đó, nếu \(\overrightarrow{OL}\) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{SA}\) và \(\overrightarrow{SB}\), thì (OLJ) // (SAB). Kết luận: Mặt phẳng (OLJ) song song với mặt phẳng (SAB). b) Chứng minh: \(GE\|(SBC)\) Bước 1: Xác định các điểm và mặt phẳng liên quan - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó \(\overrightarrow{SG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{SI}\). - E là điểm trên cạnh DC sao cho \(DC = 3DE\), do đó \(\overrightarrow{DE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DC}\). - Mặt phẳng (SBC) là mặt phẳng đi qua S, B, C. Bước 2: Chứng minh \(GE\|(SBC)\) - Vector \(\overrightarrow{GE}\) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{SG}\) và \(\overrightarrow{DE}\). - Xét vector \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{SC}\) là hai vector trong mặt phẳng (SBC). Để chứng minh \(GE\|(SBC)\), ta cần chứng minh rằng vector \(\overrightarrow{GE}\) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{SC}\). - Do \(\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{DE}\), và \(\overrightarrow{SG}\) và \(\overrightarrow{DE}\) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{SC}\), nên \(\overrightarrow{GE}\) cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{SC}\). Kết luận: Đường thẳng GE song song với mặt phẳng (SBC). Với các bước lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.