Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho u = ( 2x – 1; 3) ; v = ( 1; x + 2). Biết có 2 giá trị x1 và x2 để u cùng phương với v . Tính x1 . x2

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5033924,"userName":"Duy Hùng"}

Từ đề bài ta có $\vec{u} = (2x - 1; 3)$ và $\vec{v} = (1; x + 2)$.

Để $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{v}$, ta có: $$\frac{2x - 1}{1} = \frac{3}{x + 2}$$

$$(2x - 1)(x + 2) = 3 \cdot 1$$

$$2x^2 + 4x - x - 2 = 3$$

$$2x^2 + 3x - 5 = 0$$

Theo định lý Vi-ét, tích hai nghiệm của phương trình là:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Suy ra: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{2} = -2,5$$

Timi · Answer

Để hai vectơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ cùng phương, điều kiện cần và đủ là tỉ số các thành phần tương ứng của chúng phải bằng nhau, tức là:

$$
\frac{2x - 1}{1} = \frac{3}{x + 2}
$$

Từ đó, ta có phương trình:

$$
2x - 1 = \frac{3}{x + 2}
$$

Nhân cả hai vế với $x + 2$ để khử mẫu, ta được:

$$
(2x - 1)(x + 2) = 3
$$

Khai triển vế trái:

$$
2x(x + 2) - 1(x + 2) = 3
$$

$$
2x^2 + 4x - x - 2 = 3
$$

$$
2x^2 + 3x - 2 = 3
$$

Chuyển vế:

$$
2x^2 + 3x - 5 = 0
$$

Đây là phương trình bậc hai có dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Tính biệt thức $\Delta$:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 9 + 40 = 49
$$

Vì $\Delta = 49$ là một số chính phương, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 + 7}{4} = 1
$$

$$
x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5
$$

Tích của hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ là:

$$
x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-2.5) = -2.5
$$

Vậy, tích $x_1 \cdot x_2$ là $-2.5$.