Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A( 2; -3) ; B( 3; -4). Biết M( x; y) trên trục hoành sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất. Tìm x?

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5033924,"userName":"Duy Hùng"}

Khi $A$ và $B$ cùng phía, ta có:

$$x_M = \frac{|y_B| \cdot x_A + |y_{A'}| \cdot x_B}{|y_B| + |y_{A'}|} = \frac{|-4| \cdot 2 + |3| \cdot 3}{|-4| + |3|} = \frac{8 + 9}{7} = \frac{17}{7}$$

Timi · Answer

Để tìm giá trị của $ x $ sao cho chu vi tam giác $ AMB $ nhỏ nhất, ta cần xác định vị trí của điểm $ M(x, y) $ trên trục hoành. Vì $ M $ nằm trên trục hoành, nên tọa độ của $ M $ là $ (x, 0) $.

Chu vi của tam giác $ AMB $ là tổng độ dài các cạnh $ AM $, $ MB $, và $ AB $. Ta có:

1. Độ dài đoạn $ AM $ là:
   $$
   AM = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 + 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}
   $$

2. Độ dài đoạn $ MB $ là:
   $$
   MB = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16}
   $$

3. Độ dài đoạn $ AB $ là:
   $$
   AB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-4 + 3)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
   $$

Chu vi của tam giác $ AMB $ là:
$$
P = AM + MB + AB = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} + \sqrt{(x - 3)^2 + 16} + \sqrt{2}
$$

Để chu vi $ P $ nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa tổng $ AM + MB $. Theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh $ AM + MB $ sẽ nhỏ nhất khi điểm $ M $ nằm trên đường thẳng nối hai điểm $ A $ và $ B $.

Phương trình đường thẳng $ AB $ có dạng:
$$
y = mx + c
$$
Với $ m $ là hệ số góc:
$$
m = \frac{-4 + 3}{3 - 2} = -1
$$
Phương trình đường thẳng $ AB $ là:
$$
y = -x + b
$$
Thay tọa độ điểm $ A(2, -3) $ vào phương trình:
$$
-3 = -2 + b \Rightarrow b = -1
$$
Vậy phương trình đường thẳng $ AB $ là:
$$
y = -x - 1
$$

Vì $ M $ nằm trên trục hoành, nên $ y = 0 $. Thay vào phương trình đường thẳng:
$$
0 = -x - 1 \Rightarrow x = -1
$$

Vậy giá trị của $ x $ để chu vi tam giác $ AMB $ nhỏ nhất là $ x = -1 $.