Giải giúp mình $\frac{x^2-1}{\sqrt x+1}-\frac{x^2-x}{\sqrt x-1}+\sqrt x(2\sqrt x-1)=-1,$ $x\geq0$ và $x
e1.$,2. Chứng minh đẳng thức: với

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{x^2-x}{\sqrt{x}-1} + \sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) = -1$ với điều kiện $x \geq 0$ và $x \neq 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn các phân thức:
   - Xét phân thức $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}+1}$:
     $$
     x^2 - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)
     $$
     Do đó:
     $$
     \frac{x^2-1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1
     $$

- Xét phân thức $\frac{x^2-x}{\sqrt{x}-1}$:
     $$
     x^2 - x = x(x - 1) = (\sqrt{x})^2(\sqrt{x} - 1)
     $$
     Do đó:
     $$
     \frac{x^2-x}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x})^2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = (\sqrt{x})^2 = x
     $$

2. Thay các phân thức đã rút gọn vào phương trình ban đầu:
   $$
   \frac{x^2-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{x^2-x}{\sqrt{x}-1} + \sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) = -1
   $$
   Thay vào ta có:
   $$
   (\sqrt{x} - 1) - x + \sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) = -1
   $$

3. Rút gọn biểu thức:
   $$
   \sqrt{x} - 1 - x + \sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) = -1
   $$
   $$
   \sqrt{x} - 1 - x + 2x - \sqrt{x} = -1
   $$
   $$
   \sqrt{x} - 1 - x + 2x - \sqrt{x} = -1
   $$
   $$
   -1 + x = -1
   $$
   $$
   x = 0
   $$

4. Kiểm tra điều kiện:
   Điều kiện ban đầu là $x \geq 0$ và $x \neq 1$. Ta thấy $x = 0$ thỏa mãn điều kiện này.

Do đó, nghiệm của phương trình là:
$$
x = 0
$$