giải hộ t vs

Bài 4: a) $\sin 4x=\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$ $\Leftrightarrow 4x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $4x=\pi -x-\frac{\pi }{4}+k2\pi $ $\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $5x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi $ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{3\pi }{20}+\frac{k2\pi }{5}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k2\pi }{3};x=\frac{3\pi }{20}+\frac{k2\pi }{5},(k\in \mathbb{Z})$ b) $2\cos x=-1$ $\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$ $\Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text\ (k\in \mathbb{Z})$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text\ (k\in \mathbb{Z})$ c) $\cot x-3=\sqrt{3}(1-\cot x)$ $\Leftrightarrow \cot x-3=\sqrt{3}-\sqrt{3}\cot x$ $\Leftrightarrow \cot x+\sqrt{3}\cot x=3+\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \cot x(1+\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \cot x=\frac{3+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \cot x=\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \cot x=\cot \frac{\pi }{3}$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,\text\ (k\in \mathbb{Z})$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,\text\ (k\in \mathbb{Z})$ d) $\tan (\frac{\pi }{2}-2x)=\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \cot 2x=\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \cot 2x=\cot \frac{\pi }{6}$ $\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{6}+k\pi $ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},\text\ (k\in \mathbb{Z})$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},\text\ (k\in \mathbb{Z})$ Câu 5: a) Ta có: $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$ b) Ta có: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^3-8}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}=3$ c) Ta có: $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-3x}{x^3-27}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x}{x^2+3x+9}=\frac{1}{7}$ Câu 6: Để xét tính liên tục của hàm số \( g(x) = x^2 + 3 \): a) Trên tập xác định Hàm số \( g(x) = x^2 + 3 \) là một đa thức. Các đa thức luôn liên tục trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, hàm số \( g(x) = x^2 + 3 \) liên tục trên toàn bộ tập xác định của nó, tức là trên \( \mathbb{R} \). b) Tại \( x = -1 \) Để kiểm tra tính liên tục tại \( x = -1 \), ta cần kiểm tra ba điều kiện: 1. Hàm số \( g(x) \) phải xác định tại \( x = -1 \). 2. Giới hạn của \( g(x) \) khi \( x \) tiến đến \( -1 \) phải tồn tại. 3. Giới hạn của \( g(x) \) khi \( x \) tiến đến \( -1 \) phải bằng giá trị của \( g(x) \) tại \( x = -1 \). Bước 1: Kiểm tra giá trị của \( g(x) \) tại \( x = -1 \) \[ g(-1) = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4 \] Bước 2: Tính giới hạn của \( g(x) \) khi \( x \) tiến đến \( -1 \) \[ \lim_{x \to -1} g(x) = \lim_{x \to -1} (x^2 + 3) = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4 \] Bước 3: So sánh giới hạn và giá trị của hàm số tại \( x = -1 \) \[ \lim_{x \to -1} g(x) = g(-1) = 4 \] Vì cả ba điều kiện đều thỏa mãn, hàm số \( g(x) = x^2 + 3 \) liên tục tại \( x = -1 \). Kết luận Hàm số \( g(x) = x^2 + 3 \) liên tục trên toàn bộ tập xác định \( \mathbb{R} \) và liên tục tại \( x = -1 \). Câu 7: a) Ta có: \[ u_1 + u_5 = 51 \] \[ u_2 + u_6 = 102 \] Biểu diễn các số hạng theo số hạng đầu \( u_1 \) và công bội \( q \): \[ u_5 = u_1 \cdot q^4 \] \[ u_2 = u_1 \cdot q \] \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 \] Thay vào các phương trình đã cho: \[ u_1 + u_1 \cdot q^4 = 51 \] \[ u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5 = 102 \] Rút gọn các phương trình: \[ u_1 (1 + q^4) = 51 \] \[ u_1 q (1 + q^4) = 102 \] Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \[ \frac{u_1 q (1 + q^4)}{u_1 (1 + q^4)} = \frac{102}{51} \] \[ q = 2 \] Thay \( q = 2 \) vào phương trình \( u_1 (1 + q^4) = 51 \): \[ u_1 (1 + 2^4) = 51 \] \[ u_1 (1 + 16) = 51 \] \[ u_1 \cdot 17 = 51 \] \[ u_1 = 3 \] Vậy số hạng đầu là \( u_1 = 3 \) và công bội là \( q = 2 \). b) Để tìm số 12288 là số hạng thứ mấy, ta sử dụng công thức số hạng tổng quát của dãy số: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Thay \( u_1 = 3 \) và \( q = 2 \): \[ 12288 = 3 \cdot 2^{n-1} \] Giải phương trình để tìm \( n \): \[ 12288 = 3 \cdot 2^{n-1} \] \[ 4096 = 2^{n-1} \] \[ 2^{12} = 2^{n-1} \] \[ n - 1 = 12 \] \[ n = 13 \] Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của dãy số.