giải câu 2 3 4 huhuuuu

Câu hỏi: Giải các bài toán sau đây: 1. Cho hàm số \( y = f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2 - 2025}{x - 45} & \text{khi } x \neq 45 \\ 2m + 4 & \text{khi } x = 45 \end{array} \right. \) (m là tham số). Khi đó: - Mệnh đề Đúng Sai (a) Tập xác định của hàm số \(\mathbb{R} \setminus \{45\}\). - Mệnh đề Đúng Sai (b) \(\lim_{x \to 45} f(x) = 90\). - Mệnh đề Đúng Sai (c) Hàm số liên tục tại \(x = 20\) với mọi \(m\). - Mệnh đề Đúng Sai (d) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi \(m = 44\). 2. Biết giới hạn \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5n + 2} = a\). Khi đó: - Mệnh đề Đúng Sai (a) Giá trị \(a\) lớn hơn 0. - Mệnh đề Đúng Sai (b) Ba số \(-\frac{5}{3}, a, \frac{1}{3}\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. - Mệnh đề Đúng Sai (c) Trên khoảng \((- \pi; \pi)\) phương trình lượng giác \(\sin x = a\) có 3 nghiệm. - Mệnh đề Đúng Sai (d) Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q = 3\) và \(u_1 = a\), thì \(u_1 = 5\). 3. Cho hàm số \(f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx; a, b \in \mathbb{R}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai? - Mệnh đề Đúng Sai (a) \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\). - Mệnh đề Đúng Sai (b) \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx) = \lim_{x \to -\infty} [x(-\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + b)]\). - Mệnh đề Đúng Sai (c) Khi \(b = 2\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{a}{4}\). - Biết \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx) = -1\). Khi đó biểu thức \(P = a^2 - 2b^3\) có giá trị (d) bằng 0. Lời giải chi tiết: Câu 1: (a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\): - Hàm số \(f(x)\) có dạng \(\frac{x^2 - 2025}{x - 45}\) khi \(x \neq 45\). Do đó, \(x = 45\) là điểm gián đoạn. - Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus \{45\}\). Mệnh đề: Đúng. (b) Giới hạn \(\lim_{x \to 45} f(x)\): - Ta có \(f(x) = \frac{x^2 - 2025}{x - 45}\) khi \(x \neq 45\). - Ta có thể viết lại \(f(x)\) dưới dạng: \[ f(x) = \frac{(x - 45)(x + 45)}{x - 45} = x + 45 \quad \text{khi } x \neq 45. \] - Do đó, \(\lim_{x \to 45} f(x) = 45 + 45 = 90\). Mệnh đề: Đúng. (c) Hàm số liên tục tại \(x = 20\) với mọi \(m\): - Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 20\) nếu \(\lim_{x \to 20} f(x) = f(20)\). - Ta có \(f(20) = \frac{20^2 - 2025}{20 - 45} = \frac{400 - 2025}{-25} = \frac{-1625}{-25} = 65\). - Vì \(20 \neq 45\), nên \(f(x) = x + 45\) khi \(x \neq 45\). - Do đó, \(\lim_{x \to 20} f(x) = 20 + 45 = 65\). Mệnh đề: Đúng. (d) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi \(m = 44\): - Hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nếu \(\lim_{x \to 45} f(x) = f(45)\). - Ta có \(f(45) = 2m + 4\). - Để hàm số liên tục tại \(x = 45\), ta cần \(\lim_{x \to 45} f(x) = 90 = 2m + 4\). - Giải phương trình \(2m + 4 = 90\), ta được \(2m = 86\) và \(m = 43\). Mệnh đề: Sai. Câu 2: (a) Giá trị \(a\) lớn hơn 0: - Ta có \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5n + 2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{5 + \frac{2}{n}} = \frac{2}{5}\). - Do đó, \(a = \frac{2}{5}\) và \(a > 0\). Mệnh đề: Đúng. (b) Ba số \(-\frac{5}{3}, a, \frac{1}{3}\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2: - Ta có \(a = \frac{2}{5}\). - Kiểm tra công sai: \(\frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{5 - 6}{15} = -\frac{1}{15}\) và \(\frac{2}{5} - (-\frac{5}{3}) = \frac{2}{5} + \frac{5}{3} = \frac{6 + 25}{15} = \frac{31}{15}\). Mệnh đề: Sai. (c) Trên khoảng \((- \pi; \pi)\) phương trình lượng giác \(\sin x = a\) có 3 nghiệm: - Ta có \(a = \frac{2}{5}\). - Phương trình \(\sin x = \frac{2}{5}\) có hai nghiệm trong khoảng \((- \pi; \pi)\). Mệnh đề: Sai. (d) Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q = 3\) và \(u_1 = a\), thì \(u_1 = 5\): - Ta có \(a = \frac{2}{5}\). - Do đó, \(u_1 = \frac{2}{5} \neq 5\). Mệnh đề: Sai. Câu 3: (a) \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\): - Ta có \(f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx\). - Khi \(x \to 0\), \(f(x) \to \sqrt{1} + 0 = 1\). Mệnh đề: Đúng. (b) \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx) = \lim_{x \to -\infty} [x(-\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + b)]\): - Ta có \(\sqrt{4x^2 + ax + 1} \approx |x|\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}}\). - Khi \(x \to -\infty\), \(|x| = -x\). - Do đó, \(\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx \approx -x\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + bx\). Mệnh đề: Đúng. (c) Khi \(b = 2\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{a}{4}\): - Ta có \(f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} + 2x\). - Khi \(x \to -\infty\), \(f(x) \approx -x\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2x\). - Do đó, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x(-\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2)\). Mệnh đề: Sai. (d) Biết \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx) = -1\). Khi đó biểu thức \(P = a^2 - 2b^3\) có giá trị (d) bằng 0: - Ta có \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx) = -1\). - Do đó, \(a = 2\) và \(b = 1\). - \(P = a^2 - 2b^3 = 2^2 - 2 \cdot 1^3 = 4 - 2 = 2\). Mệnh đề: Sai.