Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AD. Từ D kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC(E thuộc AB, F thuộc AC). a) Biết BC = 10 cm. Tính AD? b) Chứng minh rằng: DE là đường trung bình c...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính AD Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường trung tuyến AD từ A đến cạnh huyền BC có một tính chất đặc biệt: AD bằng nửa độ dài của cạnh huyền BC. Điều này xuất phát từ định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông. Vì BC = 10 cm, nên: \[ AD = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] b) Chứng minh rằng DE là đường trung bình của tam giác ABC Để chứng minh DE là đường trung bình của tam giác ABC, ta cần chứng minh rằng DE song song với cạnh BC và DE bằng nửa độ dài của BC. - Vì DE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC, nên tứ giác DEAF là hình chữ nhật. Do đó, DE song song với AF và DE = AF. - Trong tam giác vuông ABC, AD là đường trung tuyến, nên D là trung điểm của BC. Do đó, DE = DF = \(\frac{BC}{2}\). Vì DE song song với BC và DE = \(\frac{BC}{2}\), nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. d) Hỏi khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng \(\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC}\) có thay đổi hay không? Vì sao? Xét tứ giác DEAF là hình chữ nhật, ta có: - AE = DE và AF = DF. Vì DE = DF = \(\frac{BC}{2}\), nên: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{AB} \quad \text{và} \quad \frac{AF}{AC} = \frac{DF}{AC} \] Tổng \(\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC}\) trở thành: \[ \frac{DE}{AB} + \frac{DF}{AC} = \frac{DE}{AB} + \frac{DE}{AC} \] Vì DE là hằng số (bằng \(\frac{BC}{2}\)), nên khi AB và AC thay đổi, tổng \(\frac{DE}{AB} + \frac{DE}{AC}\) sẽ thay đổi. Do đó, tổng \(\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC}\) có thay đổi khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi.