làm hộ e phần đúng sai và phần trả lời ngắn ạ

Câu 11: Để giải phương trình \(\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4})\), ta sẽ sử dụng tính chất của hàm số sin. Bước 1: Sử dụng công thức \(\sin A = \sin B\) Ta biết rằng \(\sin A = \sin B\) nếu: \[ A = B + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + k2\pi \] với \(k \in \mathbb{Z}\). Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (x + \frac{3\pi}{4}) + k2\pi \] Bước 2: Giải từng trường hợp Trường hợp 1: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x - x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \pi + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x + x = \pi - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ 3x = \pi + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \] Bước 3: Kết luận nghiệm Phương trình có nghiệm: \[ x = \pi + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \] với \(k \in \mathbb{Z}\). Kiểm tra các đáp án: a) Phương trình có nghiệm: \[ \left[\begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) \] - Đáp án này sai vì \(x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}\) không phải là nghiệm đúng của phương trình. b) Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình có 2 nghiệm: - Ta kiểm tra các nghiệm trong khoảng \((0; \pi)\): - \(x = \pi + k2\pi\) không nằm trong khoảng \((0; \pi)\). - \(x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3}\): - Với \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{3}\) - Với \(k = 1\): \(x = \pi\) Trong khoảng \((0; \pi)\), phương trình có 2 nghiệm: \(x = \frac{\pi}{3}\) và \(x = \pi\). c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0; \pi)\) bằng \(\frac{7\pi}{6}\): - Tổng các nghiệm trong khoảng \((0; \pi)\) là: \[ \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \neq \frac{7\pi}{6} \] - Đáp án này sai. d) Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{5\pi}{6}\): - Nghiệm lớn nhất trong khoảng \((0; \pi)\) là \(x = \pi\), không phải \(\frac{5\pi}{6}\). - Đáp án này sai. Kết luận: Đáp án đúng là: b) Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình có 2 nghiệm. Câu 12: a) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} (x^2 + 3) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \left(1 + \frac{3}{x^2}\right) = +\infty \cdot 1 = +\infty. \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x). \] Nhân và chia với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}. \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}. \] Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) = -\infty. \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x + 2} = 0. \] d) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2x}{x(1 + \frac{3}{x})}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{\frac{2}{1 + 0}} = \sqrt{2} = 2. \] Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) MN và SD cắt nhau. - Gọi \( P \) là giao điểm của \( MN \) và \( SD \). - Vì \( N \) là giao điểm của \( SB \) và mặt phẳng \((MCD)\), nên \( N \) nằm trên mặt phẳng \((MCD)\). - Đường thẳng \( MN \) nằm trong mặt phẳng \((MCD)\) vì \( M \) và \( N \) đều nằm trong mặt phẳng này. - Đường thẳng \( SD \) không nhất thiết nằm trong mặt phẳng \((MCD)\), do đó \( MN \) và \( SD \) không nhất thiết cắt nhau. - Kết luận: Sai. b) \( MN \parallel CD \) - Vì \( M \) là trung điểm của \( SA \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( SCD \) trong mặt phẳng \((MCD)\). - Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, \( MN \parallel CD \). - Kết luận: Đúng. c) MN và SC cắt nhau. - Tương tự như trên, \( MN \) nằm trong mặt phẳng \((MCD)\). - Đường thẳng \( SC \) có thể không nằm trong mặt phẳng \((MCD)\), do đó \( MN \) và \( SC \) không nhất thiết cắt nhau. - Kết luận: Sai. d) MN và CD chéo nhau. - Từ mệnh đề b), ta đã biết \( MN \parallel CD \). - Hai đường thẳng song song không thể chéo nhau. - Kết luận: Sai. Tóm lại, các mệnh đề đúng và sai như sau: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 14: Để tính giới hạn của một biểu thức, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp biểu thức cần tính giới hạn. Vì vậy, tôi sẽ hướng dẫn cách tính giới hạn cho một số dạng phổ biến thường gặp ở lớp 11. Dạng 1: Giới hạn của đa thức khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} (3x^2 + 2x - 5)\). Lời giải: - Khi \( x \to \infty \), hạng tử có bậc cao nhất sẽ quyết định giá trị của giới hạn. - Do đó, \(\lim_{x \to \infty} (3x^2 + 2x - 5) = \lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty\). Dạng 2: Giới hạn của phân thức khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4}\). Lời giải: - Chia cả tử số và mẫu số cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} \] - Khi \( x \to \infty \), các hạng tử \(\frac{3}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\), và \(\frac{4}{x^2}\) đều tiến về 0. - Do đó, \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2 + 0 - 0}{1 - 0} = 2\). Dạng 3: Giới hạn của biểu thức chứa căn khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 2x} - x\). Lời giải: - Nhân và chia với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] - Biến đổi tử số: \[ (\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x) = (x^2 + 2x) - x^2 = 2x \] - Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1 \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \] Dạng 4: Giới hạn của biểu thức chứa logarit khi \( x \to \infty \) Ví dụ: Tính \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\). Lời giải: - Áp dụng quy tắc L’Hôpital (nếu đã học): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \] Hy vọng những ví dụ trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn. Nếu bạn có biểu thức cụ thể cần tính giới hạn, hãy cung cấp để tôi có thể hỗ trợ chi tiết hơn. Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm trung điểm: - Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( I \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau. - Gọi \( K \) là trung điểm của \( CD \), do đó \( K \) chia \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau. - Gọi \( M \) là trung điểm của \( SB \), do đó \( M \) chia \( SB \) thành hai đoạn bằng nhau. 2. Xác định mặt phẳng (SIK): - Mặt phẳng \((SIK)\) được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng \( S, I, K \). 3. Xác định điểm F: - Điểm \( F \) là giao điểm của \( DM \) với mặt phẳng \((SIK)\). 4. Tính tỉ số \(\frac{MF}{MD}\): - Do \( M \) là trung điểm của \( SB \), nên \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( SB \). - Đường thẳng \( DM \) cắt mặt phẳng \((SIK)\) tại điểm \( F \). - Vì \( D, M \) và \( F \) thẳng hàng, và \( F \) nằm trên mặt phẳng \((SIK)\), ta cần xác định vị trí của \( F \) trên đoạn \( DM \). 5. Sử dụng tính chất hình học: - Do \( I \) và \( K \) lần lượt là trung điểm của \( BC \) và \( CD \), và \( M \) là trung điểm của \( SB \), ta có thể suy ra rằng các điểm này chia các đoạn thẳng thành các phần bằng nhau. - Trong hình học không gian, khi một đường thẳng cắt một mặt phẳng tại một điểm, và nếu điểm đó là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó trong mặt phẳng, thì tỉ số các đoạn thẳng liên quan sẽ có tính chất đặc biệt. 6. Kết luận: - Do \( M \) là trung điểm của \( SB \) và \( F \) là giao điểm của \( DM \) với mặt phẳng \((SIK)\), và vì \( I \) và \( K \) là trung điểm của các cạnh của hình bình hành \( ABCD \), ta có thể suy ra rằng \( F \) cũng chia đoạn \( DM \) theo tỉ lệ \( 1:1 \). - Do đó, tỉ số \(\frac{MF}{MD} = \frac{1}{2}\). Vậy, tỉ số \(\frac{MF}{MD}\) là \(\frac{1}{2}\). Câu 16: Để giải bài toán này, ta cần tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được từ lúc bắt đầu thả cho đến khi nó ngừng nảy. 1. Lần rơi đầu tiên: - Quả bóng được thả từ độ cao $5~m$, do đó quãng đường rơi đầu tiên là $5~m$. 2. Lần nảy đầu tiên: - Sau khi chạm đất, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{4}{5}$ lần độ cao trước đó, tức là $\frac{4}{5} \times 5 = 4~m$. 3. Lần rơi thứ hai: - Từ độ cao $4~m$, quả bóng lại rơi xuống đất, quãng đường rơi là $4~m$. 4. Lần nảy thứ hai: - Quả bóng nảy lên độ cao $\frac{4}{5} \times 4 = \frac{16}{5}~m$. 5. Lần rơi thứ ba: - Quả bóng rơi từ độ cao $\frac{16}{5}~m$, quãng đường rơi là $\frac{16}{5}~m$. 6. Tiếp tục quá trình: - Quá trình này tiếp tục với mỗi lần nảy lên và rơi xuống, độ cao nảy lên sau mỗi lần là $\frac{4}{5}$ lần độ cao trước đó. Tổng quãng đường: - Tổng quãng đường quả bóng đi được là tổng của tất cả các lần rơi và nảy lên. Ta có: \[ S = 5 + 4 + 4 + \frac{16}{5} + \frac{16}{5} + \cdots \] - Đây là một dãy số vô hạn, trong đó các lần nảy lên và rơi xuống sau lần đầu tiên tạo thành một cấp số nhân với công bội $r = \frac{4}{5}$. - Tổng quãng đường của các lần nảy lên và rơi xuống (sau lần đầu tiên) là: \[ S' = 2 \times \left(4 + \frac{16}{5} + \left(\frac{16}{5} \times \frac{4}{5}\right) + \cdots \right) \] Đây là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu $a = 4$ và công bội $r = \frac{4}{5}$. - Tổng của cấp số nhân vô hạn là: \[ S' = 2 \times \frac{4}{1 - \frac{4}{5}} = 2 \times 4 \times 5 = 40 \] - Tổng quãng đường quả bóng đi được là: \[ S = 5 + 40 = 45~m \] Vậy tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng $45~m$. Câu 17: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 3 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 3 bằng giá trị của \( f(3) \). Bước 1: Tìm giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 3: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} \] Bước 2: Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số để đơn giản hóa: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x)(\sqrt{x + 1} + 2)}{(\sqrt{x + 1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x + 1 - 4} \] \[ = \lim_{x \to 3} \frac{(3 - x)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} \] Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức: \[ = \lim_{x \to 3} \frac{-(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} \] \[ = \lim_{x \to 3} -(\sqrt{x + 1} + 2) \] \[ = -(\sqrt{3 + 1} + 2) \] \[ = -(2 + 2) \] \[ = -4 \] Bước 4: Để hàm số liên tục tại \( x = 3 \), ta cần \( f(3) = m \) bằng giới hạn đã tìm được: \[ m = -4 \] Vậy, giá trị của \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 3 \) là \( m = -4 \).