làm giúp e phần đúng sai và trả lời ngắn

Câu 11: Phương trình đã cho tương đương với phương trình: $\frac{\pi }{4}(3x-\sqrt{9{x}^{2}-16x-80})=k\pi ,\text\ k\in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow 3x-\sqrt{9{x}^{2}-16x-80}=4k$ $\Leftrightarrow \sqrt{9{x}^{2}-16x-80}=3x-4k$ Điều kiện xác định: $3x-4k\ge 0$ Ta có: $9{x}^{2}-16x-80=9{x}^{2}-24kx+16{k}^{2}$ $\Leftrightarrow -16x-80=-24kx+16{k}^{2}$ $\Leftrightarrow 24(k-1)x=16({k}^{2}+5)$ $\Leftrightarrow x=\frac{2({k}^{2}+5)}{3(k-1)}$ Thay vào điều kiện xác định ta được: $2({k}^{2}+5)\ge 4{k}^{2}\Rightarrow {k}^{2}\le 5$ Suy ra: $k=-2,-1,0,1,2$ Với $k=-2$ thì $x=2.$ Với $k=-1$ thì $x=\frac{7}{3}.$ Với $k=0$ thì $x=-\frac{5}{3}.$ Với $k=1$ thì $x$ vô nghiệm. Với $k=2$ thì $x=9.$ Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 2 và 9. Câu 12: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần yêu cầu: Phần a: Tích \(a \cdot b = 3\) Giả sử \(a\) và \(b\) là hai số thực thỏa mãn \(a \cdot b = 3\). Ta không cần thêm điều kiện gì khác vì đây là một phương trình đơn giản. Phần b: Hàm số \(y = \sqrt{1 - x}\) có tập xác định là \(D = (-\infty; 1]\) Để hàm số \(y = \sqrt{1 - x}\) có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \[ 1 - x \geq 0 \] \[ x \leq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty; 1] \] Phần c: Giá trị \(b\) là số lớn hơn 0 Giá trị \(b\) là số lớn hơn 0, tức là: \[ b > 0 \] Phần d: Phương trình lượng giác \(\cos x = b\) vô nghiệm Phương trình \(\cos x = b\) vô nghiệm nếu \(b\) nằm ngoài khoảng \([-1, 1]\). Vì \(b > 0\) từ phần c, nên để phương trình vô nghiệm, \(b\) phải lớn hơn 1: \[ b > 1 \] Kết luận Từ các phần trên, ta có: - \(a \cdot b = 3\) - Tập xác định của \(y = \sqrt{1 - x}\) là \(D = (-\infty; 1]\) - \(b > 0\) - Để phương trình \(\cos x = b\) vô nghiệm, \(b > 1\) Do đó, \(b\) phải thỏa mãn cả hai điều kiện: \[ b > 1 \] Vậy, giá trị của \(b\) phải lớn hơn 1. Câu 13: a) Ta có: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x+1} = \frac{2}{3} \] và \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{x}{x+1} = \frac{2}{3}. \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 1}{x - 1} = +\infty \] và \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 1}{x - 1} = -\infty. \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to 5^-} \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 6x + 9} = +\infty \] và \[ \lim_{x \to 5^+} \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 6x + 9} = +\infty. \] d) Ta có: \[ \lim_{x \to 1^-} [(x^3 - 1)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 1}}] = +\infty \] và \[ \lim_{x \to 1^+} [(x^3 - 1)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 1}}] = -\infty. \] Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Phân tích: - Mặt phẳng (SAC) chứa các điểm S, A, C. - Mặt phẳng (SBD) chứa các điểm S, B, D. - Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là một đường thẳng đi qua điểm chung S và nằm trong cả hai mặt phẳng. - Chứng minh: - Xét hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD, chúng cắt nhau tại O. - Điểm O nằm trên cả hai đường chéo AC và BD, do đó O thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Đường thẳng SO đi qua điểm chung S và O, do đó SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Chứng minh giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD) nằm trên đường thẳng SO. - Phân tích: - Đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (SAC) vì A và N đều thuộc (SAC). - Giao điểm I của AN với (SBD) sẽ nằm trên giao tuyến của (SAC) và (SBD), tức là trên SO. - Chứng minh: - Vì A thuộc (SBD) và N thuộc (SAC), nên AN cắt (SBD) tại một điểm I. - Do AN nằm trong (SAC), điểm I cũng thuộc (SAC). - Vì I thuộc cả (SAC) và (SBD), nên I nằm trên giao tuyến SO. c) Chứng minh giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) nằm trên đường thẳng SD. - Phân tích: - M là trung điểm của AB, N là trung điểm của SC, do đó MN là đường trung bình trong tam giác ASC. - Đường thẳng MN sẽ cắt mặt phẳng (SBD) tại một điểm J. - Chứng minh: - Vì M thuộc (SBD) (do M là trung điểm của AB và AB thuộc (SBD)) và N thuộc (SAC), nên MN cắt (SBD) tại một điểm J. - Do J thuộc (SBD) và N thuộc (SAC), J cũng thuộc đường thẳng SD (vì SD là giao tuyến của (SAC) và (SBD)). d) Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng. - Phân tích: - I nằm trên AN và trên SO. - J nằm trên MN và trên SD. - B thuộc (SBD). - Chứng minh: - Từ b) và c), ta có I và J đều nằm trên đường thẳng SO. - B thuộc (SBD) và cũng thuộc đường thẳng BD, mà BD cắt SO tại O. - Do đó, I, J, B thẳng hàng trên đường thẳng SO. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tỷ số \(\frac{ES}{EB}\) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn. Biết \(AB = 5a\) và \(CD = 2a\). Gọi \(E\) là điểm thuộc cạnh \(SB\) sao cho \(CE\) song song với mặt phẳng \((SAD)\). Vì \(CE\) song song với mặt phẳng \((SAD)\), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có: \[ \frac{ES}{EB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2a}{5a} = \frac{2}{5} \] Vậy \(\frac{m}{n} = \frac{2}{5}\) với \(m = 2\) và \(n = 5\). Bước 2: Tính giá trị của \(2m + 3n\) Từ \(\frac{m}{n} = \frac{2}{5}\), ta có \(m = 2\) và \(n = 5\). Do đó: \[ 2m + 3n = 2 \times 2 + 3 \times 5 = 4 + 15 = 19 \] Bước 3: Tính giới hạn \(I\) Ta cần tính giới hạn: \[ I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2x+1} - \sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[4]{8-x} - \sqrt[3]{8+x}} \] Tính tử số: Sử dụng khai triển Taylor gần \(x = 0\): - \(\sqrt{2x+1} \approx 1 + x\) - \(\sqrt[3]{x^2+1} \approx 1 + \frac{x^2}{3}\) Do đó, tử số: \[ \sqrt{2x+1} - \sqrt[3]{x^2+1} \approx (1 + x) - \left(1 + \frac{x^2}{3}\right) = x - \frac{x^2}{3} \] Tính mẫu số: Sử dụng khai triển Taylor gần \(x = 0\): - \(\sqrt[4]{8-x} \approx 2 - \frac{x}{16}\) - \(\sqrt[3]{8+x} \approx 2 + \frac{x}{12}\) Do đó, mẫu số: \[ \sqrt[4]{8-x} - \sqrt[3]{8+x} \approx \left(2 - \frac{x}{16}\right) - \left(2 + \frac{x}{12}\right) = -\frac{x}{16} - \frac{x}{12} = -\frac{3x}{48} - \frac{4x}{48} = -\frac{7x}{48} \] Tính giới hạn: \[ I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \frac{x^2}{3}}{-\frac{7x}{48}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(1 - \frac{x}{3})}{-\frac{7x}{48}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{48(1 - \frac{x}{3})}{-7} = -\frac{48}{7} \] Bước 4: Tính giá trị của \(100/I\) Từ \(I = -\frac{48}{7}\), ta có: \[ \frac{100}{I} = \frac{100}{-\frac{48}{7}} = -\frac{100 \times 7}{48} = -\frac{700}{48} = -\frac{175}{12} \] Vậy giá trị của \(\frac{100}{I}\) là \(-\frac{175}{12}\). Câu 16: Để hàm số liên tục tại \( x_0 = 2 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 bằng giá trị của \( f(2) \). Bước 1: Tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn: \[ \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \] Khi \( x \neq 2 \), ta có thể rút gọn: \[ \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 \] Bước 3: Tính giới hạn sau khi rút gọn: \[ \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \] Bước 4: Đặt giá trị của \( f(2) \): \[ f(2) = 2m + 1 \] Bước 5: Để hàm số liên tục tại \( x_0 = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] \[ 12 = 2m + 1 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm \( m \): \[ 2m + 1 = 12 \] \[ 2m = 12 - 1 \] \[ 2m = 11 \] \[ m = \frac{11}{2} \] Vậy, \( m = \frac{11}{2} \). Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết cụ thể hàm số nào. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp thông tin chi tiết về hàm số, tôi sẽ hướng dẫn bạn cách giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số nói chung theo các quy tắc đã nêu. Giả sử chúng ta có một hàm số \( f(x) \). Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Xác định miền giá trị của \( x \) mà hàm số \( f(x) \) có nghĩa. - Ví dụ: Nếu \( f(x) = \frac{1}{x} \), thì \( x \neq 0 \). 2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN): - Tìm đạo hàm \( f'(x) \) và giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. - Kiểm tra các điểm cực trị và các điểm biên (nếu có) để xác định GTLN và GTNN. - Ví dụ: Nếu \( f(x) = -x^2 + 4x \), thì \( f'(x) = -2x + 4 \). Giải \( -2x + 4 = 0 \) ta được \( x = 2 \). Thay \( x = 2 \) vào \( f(x) \) ta được \( f(2) = 4 \). Vậy GTLN của hàm số là 4, đạt được khi \( x = 2 \). 3. Đặt ẩn số và điều kiện: - Đặt ẩn số phù hợp và xác định điều kiện cho ẩn số. - Ví dụ: Nếu bài toán yêu cầu tìm hai số có tổng bằng 10 và tích bằng 21, ta đặt \( x \) và \( y \) là hai số đó. Điều kiện là \( x + y = 10 \) và \( xy = 21 \). 4. Kết luận các nghiệm: - Liệt kê tất cả các nghiệm của phương trình một ẩn. - Ví dụ: Nếu phương trình \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) có nghiệm \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \). 5. Biểu diễn phân số: - Luôn sử dụng LaTeX để biểu diễn phân số. - Ví dụ: \( \frac{a}{b} \). 6. Phương pháp phù hợp với lớp 11: - Sử dụng các phương pháp đại số, đạo hàm cơ bản, và các kiến thức đã học ở lớp 11. Nếu bạn cung cấp cụ thể hàm số hoặc bài toán, tôi sẽ giúp bạn giải chi tiết hơn. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần xác định tổng số viên gạch cần dùng để xây bức tường. Bức tường có dạng hình thang ngược, với hàng dưới cùng có 500 viên gạch và mỗi hàng tiếp theo có ít hơn hàng trước 2 viên gạch. Bước 1: Xác định số viên gạch của mỗi hàng - Hàng thứ nhất (hàng dưới cùng) có 500 viên gạch. - Hàng thứ hai có \(500 - 2 = 498\) viên gạch. - Hàng thứ ba có \(498 - 2 = 496\) viên gạch. - Tiếp tục như vậy, hàng thứ \(n\) có \(500 - 2(n-1)\) viên gạch. Bước 2: Xác định điều kiện dừng Số viên gạch của một hàng không thể âm, do đó ta cần giải bất phương trình: \[ 500 - 2(n-1) > 0 \] Giải bất phương trình: \[ 500 - 2n + 2 > 0 \\ 502 - 2n > 0 \\ 2n < 502 \\ n < 251 \] Vậy số hàng tối đa là 250. Bước 3: Tính tổng số viên gạch Tổng số viên gạch là tổng của dãy số: \(500, 498, 496, \ldots\) Đây là một cấp số cộng với: - Số hạng đầu \(a_1 = 500\) - Công sai \(d = -2\) - Số hạng cuối \(a_n = 500 - 2(n-1)\) Số hạng cuối khi \(n = 250\) là: \[ a_{250} = 500 - 2(250-1) = 500 - 498 = 2 \] Tổng số viên gạch là tổng của 250 số hạng: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Thay các giá trị vào: \[ S_{250} = \frac{250}{2} \times (500 + 2) = 125 \times 502 = 62750 \] Vậy, tổng số viên gạch cần dùng để hoàn thành bức tường là 62,750 viên.