Giúp em với ạ

Bài 1: a) Ta thấy rằng \( 5^3 = 125 \) chia hết cho 31. Do đó, ta có thể viết \( A \) dưới dạng: \[ A = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^{402} + 5^{403} + 5^{404}. \] Ta nhóm các số hạng của \( A \) thành các nhóm có 3 số hạng liên tiếp: \[ A = (1 + 5 + 5^2) + (5^3 + 5^4 + 5^5) + ... + (5^{402} + 5^{403} + 5^{404}). \] Mỗi nhóm đều có dạng \( 1 + 5 + 5^2 \) nhân với một lũy thừa của 5. Vì \( 1 + 5 + 5^2 = 31 \) chia hết cho 31, nên mỗi nhóm đều chia hết cho 31. Do đó, tổng của tất cả các nhóm cũng chia hết cho 31. Vậy \( A \) chia hết cho 31. b) Ta thấy rằng \( S \) là tổng của các số nguyên từ 1 đến 2015, với các số chẵn âm và các số lẻ dương. Ta có thể viết \( S \) dưới dạng: \[ S = 1 + (-2) + 3 + (-4) + ... + (-2014) + 2015. \] Ta nhóm các số hạng của \( S \) thành các cặp: \[ S = (1 + (-2)) + (3 + (-4)) + ... + (2013 + (-2014)) + 2015. \] Mỗi cặp đều có dạng \( 1 + (-2) = -1 \). Có 1007 cặp như vậy, nên tổng của tất cả các cặp là: \[ 1007 \times (-1) = -1007. \] Cuối cùng, ta cộng thêm số hạng cuối cùng là 2015: \[ S = -1007 + 2015 = 1008. \] Vậy giá trị của \( S \) là 1008. Bài 2: Giả sử d là ước chung của 2n + 5 và 3n + 7. Ta có: (3n + 7) – (2n + 5) = n + 2 chia hết cho d. Suy ra n + 2 chia hết cho d. Mà 2n + 5 chia hết cho d nên 2(n + 2) + 1 chia hết cho d. Suy ra 1 chia hết cho d hay d = 1. Vậy 2n + 5 và 3n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 3: Để tìm số nguyên \( n \) sao cho \( 3n + 2 \) chia hết cho \( 2n + 5 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn điều kiện chia hết: Ta có \( 3n + 2 \) chia hết cho \( 2n + 5 \). Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho: \[ 3n + 2 = k(2n + 5) \] 2. Phân tích biểu thức: Ta viết lại biểu thức trên: \[ 3n + 2 = k(2n + 5) \] Mở rộng vế phải: \[ 3n + 2 = 2kn + 5k \] 3. Nhóm các số hạng chứa \( n \): Chuyển tất cả các số hạng chứa \( n \) về một bên và các hằng số về bên kia: \[ 3n - 2kn = 5k - 2 \] Đặt \( n \) ra ngoài: \[ n(3 - 2k) = 5k - 2 \] 4. Giải biểu thức để tìm \( n \): Để \( n \) là số nguyên, \( 3 - 2k \) phải khác 0. Ta xét các giá trị nguyên của \( k \) để \( 3 - 2k \) chia hết cho \( 5k - 2 \). - Nếu \( k = 1 \): \[ 3 - 2 \cdot 1 = 1 \quad \text{và} \quad 5 \cdot 1 - 2 = 3 \] Ta có: \[ n \cdot 1 = 3 \implies n = 3 \] - Nếu \( k = 2 \): \[ 3 - 2 \cdot 2 = -1 \quad \text{và} \quad 5 \cdot 2 - 2 = 8 \] Ta có: \[ n \cdot (-1) = 8 \implies n = -8 \] - Nếu \( k = 0 \): \[ 3 - 2 \cdot 0 = 3 \quad \text{và} \quad 5 \cdot 0 - 2 = -2 \] Ta có: \[ n \cdot 3 = -2 \implies n = -\frac{2}{3} \] \( n \) không phải là số nguyên. - Nếu \( k = -1 \): \[ 3 - 2 \cdot (-1) = 5 \quad \text{và} \quad 5 \cdot (-1) - 2 = -7 \] Ta có: \[ n \cdot 5 = -7 \implies n = -\frac{7}{5} \] \( n \) không phải là số nguyên. 5. Kết luận: Các giá trị nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện \( 3n + 2 \) chia hết cho \( 2n + 5 \) là: \[ n = 3 \quad \text{và} \quad n = -8 \] Đáp số: \( n = 3 \) và \( n = -8 \). Bài 4: a) Ta có: (x-2)(y+1) = 7 Do x, y là các số nguyên nên x-2 và y+1 cũng là các số nguyên. Ta có: 7 = 1 × 7 = 7 × 1 = (-1) × (-7) = (-7) × (-1) Ta có bảng sau: \begin{array}{|c|c|c|} \hline x-2 & 1 & 7 & -1 & -7 \\ \hline y+1 & 7 & 1 & -7 & -1 \\ \hline x & 3 & 9 & 1 & -5 \\ \hline y & 6 & 0 & -8 & -2 \\ \hline \end{array} Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (3; 6); (9; 0); (1; -8); (-5; -2) b) Ta có: 2xy + 6x + y = 2 Cộng thêm 3 vào hai vế ta được: 2xy + 6x + y + 3 = 5 Nhận thấy rằng: 2xy + 6x + y + 3 = (2x + 1)(y + 3) Vậy ta có: (2x + 1)(y + 3) = 5 Do x, y là các số nguyên nên 2x + 1 và y + 3 cũng là các số nguyên. Ta có: 5 = 1 × 5 = 5 × 1 = (-1) × (-5) = (-5) × (-1) Ta có bảng sau: \begin{array}{|c|c|c|} \hline 2x + 1 & 1 & 5 & -1 & -5 \\ \hline y + 3 & 5 & 1 & -5 & -1 \\ \hline x & 0 & 2 & -1 & -3 \\ \hline y & 2 & -2 & -8 & -4 \\ \hline \end{array} Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (0; 2); (2; -2); (-1; -8); (-3; -4)