Cho ΔABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong ΔABC sao cho $AM.BC+BM.CA+CM.AB$ đạt GTNN.

Để tìm vị trí của điểm \( M \) nằm trong tam giác \( \Delta ABC \) sao cho biểu thức \( AM \cdot BC + BM \cdot CA + CM \cdot AB \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta có thể sử dụng một kết quả hình học nổi tiếng liên quan đến điểm Fermat (hay còn gọi là điểm Torricelli). Bước 1: Hiểu về điểm Fermat Điểm Fermat của một tam giác là điểm mà tổng khoảng cách từ nó đến ba đỉnh của tam giác là nhỏ nhất. Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta cần tìm vị trí của điểm \( M \) sao cho tổng các tích \( AM \cdot BC + BM \cdot CA + CM \cdot AB \) là nhỏ nhất. Bước 2: Sử dụng tính chất của điểm Fermat Một tính chất quan trọng của điểm Fermat là nó nằm trong tam giác và tạo với các đỉnh của tam giác các góc bằng \(120^\circ\) nếu tất cả các góc của tam giác đều nhỏ hơn \(120^\circ\). Nếu tam giác có một góc lớn hơn hoặc bằng \(120^\circ\), thì điểm Fermat trùng với đỉnh của góc đó. Bước 3: Áp dụng vào bài toán Trong trường hợp tam giác \( \Delta ABC \) có tất cả các góc nhỏ hơn \(120^\circ\), điểm \( M \) cần tìm chính là điểm Fermat của tam giác. Khi đó, tổng \( AM \cdot BC + BM \cdot CA + CM \cdot AB \) đạt giá trị nhỏ nhất. Nếu tam giác \( \Delta ABC \) có một góc lớn hơn hoặc bằng \(120^\circ\), thì điểm \( M \) trùng với đỉnh của góc đó, và tổng \( AM \cdot BC + BM \cdot CA + CM \cdot AB \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất. Kết luận Vị trí của điểm \( M \) để \( AM \cdot BC + BM \cdot CA + CM \cdot AB \) đạt giá trị nhỏ nhất là điểm Fermat của tam giác \( \Delta ABC \) nếu tất cả các góc của tam giác đều nhỏ hơn \(120^\circ\). Nếu có một góc lớn hơn hoặc bằng \(120^\circ\), thì \( M \) trùng với đỉnh của góc đó.