Cho $x+3y\ge1$. TÌm GTNN của biểu thức $C=x^2+y^2$.

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số $(a, b)$ và $(x, y)$ là: $$(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$$

Suy ra: $$(1 \cdot x + 3 \cdot y)^2 \leq (1^2 + 3^2)(x^2 + y^2)$$

$$(x + 3y)^2 \leq (1 + 9)(x^2 + y^2)$$

$$(x + 3y)^2 \leq 10(x^2 + y^2)$$

Vì theo giả thiết $x + 3y \geq 1$, nên $(x + 3y)^2 \geq 1^2 = 1$. Từ đó ta suy ra:

$$1 \leq 10(x^2 + y^2)$$

$$\Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{1}{10}$$

Giá trị nhỏ nhất của $C$ là $\frac{1}{10}$ (hay $0,1$), dấu "=" xảy ra khi $x = \frac{1}{10}$ và $y = \frac{3}{10}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ C = x^2 + y^2 $ dưới ràng buộc $ x + 3y \ge 1 $, ta sẽ sử dụng phương pháp hình học hoặc đại số.

Phương pháp đại số:
1. Biến đổi ràng buộc:
   Ta có ràng buộc $ x + 3y \ge 1 $. Để tiện lợi, ta xét trường hợp $ x + 3y = 1 $ (vì nếu $ x + 3y > 1 $, ta có thể giảm $ x $ hoặc $ y $ để thỏa mãn $ x + 3y = 1 $).

2. Biểu diễn $ x $ theo $ y $:
   Từ $ x + 3y = 1 $, ta có $ x = 1 - 3y $.

3. Thay $ x $ vào biểu thức $ C $:
   Thay $ x = 1 - 3y $ vào $ C = x^2 + y^2 $:
   $$
   C = (1 - 3y)^2 + y^2
   $$
   $$
   C = 1 - 6y + 9y^2 + y^2
   $$
   $$
   C = 1 - 6y + 10y^2
   $$

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ C $:
   Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ C = 10y^2 - 6y + 1 $. Đây là một hàm bậc hai có dạng $ ay^2 + by + c $ với $ a = 10 $, $ b = -6 $, và $ c = 1 $.

Hàm này đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol, tức là tại $ y = -\frac{b}{2a} $:
   $$
   y = -\frac{-6}{2 \cdot 10} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}
   $$

5. Tính giá trị của $ C $ tại $ y = \frac{3}{10} $:
   $$
   C = 10 \left( \frac{3}{10} \right)^2 - 6 \left( \frac{3}{10} \right) + 1
   $$
   $$
   C = 10 \cdot \frac{9}{100} - 6 \cdot \frac{3}{10} + 1
   $$
   $$
   C = \frac{90}{100} - \frac{18}{10} + 1
   $$
   $$
   C = 0.9 - 1.8 + 1
   $$
   $$
   C = 0.1
   $$

6. Kiểm tra ràng buộc:
   Kiểm tra $ x + 3y \ge 1 $ với $ y = \frac{3}{10} $:
   $$
   x = 1 - 3 \cdot \frac{3}{10} = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}
   $$
   $$
   x + 3y = \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \frac{9}{10} = 1
   $$
   Ràng buộc được thỏa mãn.

Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của $ C = x^2 + y^2 $ là $ 0.1 $, đạt được khi $ x = \frac{1}{10} $ và $ y = \frac{3}{10} $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ C $ là $ 0.1 $, đạt được khi $ x = \frac{1}{10} $ và $ y = \frac{3}{10} $.

minhthu_ · Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Do $$x+3y\ge1$$ đặt $$x+3y=1+a\left(a\ge0\right)$$

⇒ $$x=1+a-3y$$

Thay vào C ta có: $$C=10y^2-6ay-6y+a^2+2a+1$$

$$C=10\left\lbrack y-\frac{3}{10}\left(a+1\right)\right\rbrack^2+\frac{1}{10}\left(a^2+2a\right)+\frac{1}{10}\ge\frac{1}{10}$$

Dấu "=" xảy ra kvck $$x=\frac{1}{10};y=\frac{3}{10}$$.

anh-tuyettran-ngoc · Answer