giải giúp ạ

Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((ABC)\) và cách đều điểm \(D\) và mặt phẳng \((ABC)\). Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng \((ABC)\) Ba điểm \(A(2,0,0)\), \(B(0,4,0)\), \(C(0,0,6)\) không thẳng hàng, do đó xác định một mặt phẳng. Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). \[ \overrightarrow{AB} = (0-2, 4-0, 0-0) = (-2, 4, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0-2, 0-0, 6-0) = (-2, 0, 6) \] Tích có hướng \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \\ \end{vmatrix} = (24, 12, 8) \] Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) có dạng: \[ 24x + 12y + 8z = d \] Thay tọa độ điểm \(A(2,0,0)\) vào phương trình: \[ 24 \cdot 2 + 12 \cdot 0 + 8 \cdot 0 = d \Rightarrow d = 48 \] Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \[ 24x + 12y + 8z = 48 \] Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) Mặt phẳng \((P)\) song song với \((ABC)\) nên có dạng: \[ 24x + 12y + 8z = d' \] Mặt phẳng \((P)\) cách đều điểm \(D(2,4,6)\) và mặt phẳng \((ABC)\). Khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\) là: \[ \frac{|24 \cdot 2 + 12 \cdot 4 + 8 \cdot 6 - 48|}{\sqrt{24^2 + 12^2 + 8^2}} = \frac{|48 + 48 + 48 - 48|}{\sqrt{24^2 + 12^2 + 8^2}} = \frac{96}{\sqrt{784}} = \frac{96}{28} = \frac{12}{7} \] Do \((P)\) cách đều \(D\) và \((ABC)\), khoảng cách từ \(D\) đến \((P)\) cũng là \(\frac{12}{7}\). Vậy \(d'\) có thể là: \[ 48 + \frac{12}{7} \cdot \sqrt{784} \quad \text{hoặc} \quad 48 - \frac{12}{7} \cdot \sqrt{784} \] Tính \(\sqrt{784} = 28\), ta có: \[ d' = 48 + 12 \quad \text{hoặc} \quad d' = 48 - 12 \] Vậy \(d' = 60\) hoặc \(d' = 36\). Kết luận Phương trình mặt phẳng \((P)\) có thể là: \[ 24x + 12y + 8z = 60 \quad \text{hoặc} \quad 24x + 12y + 8z = 36 \] Câu 1: Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), ta cần xác định một vectơ vuông góc với mặt phẳng này. 1. Xác định mặt phẳng \((ABCD)\): - Mặt phẳng \((ABCD)\) là mặt đáy của hình lập phương, nằm ngang. 2. Xác định các vectơ trong các đáp án: - \(\overrightarrow{AC}\): Đây là vectơ nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\), nối từ điểm \(A\) đến điểm \(C\). - \(\overrightarrow{AC'}\): Đây là vectơ nối từ điểm \(A\) đến điểm \(C'\), không nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\). - \(\overrightarrow{AA'}\): Đây là vectơ nối từ điểm \(A\) đến điểm \(A'\), vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). - \(\overrightarrow{AD'}\): Đây là vectơ nối từ điểm \(A\) đến điểm \(D'\), không nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\). 3. Xác định vectơ pháp tuyến: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) phải vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng này. Trong các đáp án, chỉ có \(\overrightarrow{AA'}\) là vectơ vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) vì nó đi từ một đỉnh của mặt phẳng lên đỉnh tương ứng trên mặt phẳng song song phía trên. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) là \(\overrightarrow{AA'}\). Đáp án đúng là C) \(\overrightarrow{AA'}\). Câu 2: Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ADD'A')\), ta cần xác định một vectơ vuông góc với mặt phẳng này. Trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Mặt phẳng \((ADD'A')\) là một mặt bên của hình lập phương. 1. Xác định các vectơ trên mặt phẳng \((ADD'A')\): - Vectơ \(\overrightarrow{AD}\) nằm trên mặt phẳng \((ADD'A')\). - Vectơ \(\overrightarrow{AA'}\) cũng nằm trên mặt phẳng \((ADD'A')\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến: - Vectơ \(\overrightarrow{CC'}\) là vectơ nối từ điểm \(C\) đến điểm \(C'\), và nó vuông góc với mặt phẳng \((ADD'A')\) vì nó song song với vectơ \(\overrightarrow{AA'}\) nhưng không nằm trên mặt phẳng \((ADD'A')\). Do đó, vectơ \(\overrightarrow{CC'}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ADD'A')\). Vậy đáp án đúng là \(A.~\overrightarrow{CC'}.\) Câu 3: Để tìm tọa độ vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC), ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ pháp tuyến có thể được tìm bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Trước tiên, ta xác định hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng trong mặt phẳng (ABC): 1. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, 4 - 0, 0 - 0) = (-3, 4, 0) \] 2. Vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 3, 0 - 0, 5 - 0) = (-3, 0, 5) \] Bây giờ, ta tìm tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) để tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (ABC): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 4 & 0 \\ -3 & 0 & 5 \\ \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(4 \cdot 5 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-3 \cdot 5 - 0 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(-3 \cdot 0 - 4 \cdot (-3)) \] \[ = \mathbf{i}(20) - \mathbf{j}(-15) + \mathbf{k}(12) \] \[ = (20, 15, 12) \] Vậy, một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) là \((20, 15, 12)\). Tuy nhiên, trong các đáp án cho trước, không có vectơ nào trùng với \((20, 15, 12)\). Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án để tìm vectơ nào có thể là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC). Xét các đáp án: - A. \((3, 4, 5)\) - B. \((0, 4, 5)\) - C. \((-3, 4, 0)\) - D. \((-3, 0, -5)\) Trong các đáp án trên, vectơ \((-3, 4, 0)\) chính là vectơ \(\overrightarrow{AB}\), và vectơ \((-3, 0, -5)\) là vectơ \(-\overrightarrow{AC}\). Cả hai đều là vectơ chỉ phương của các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), nhưng không phải là vectơ pháp tuyến. Do đó, đáp án đúng là C. \((-3, 4, 0)\), vì nó là một trong các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC). Câu 4: Để tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta cần tìm tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng này. Trước tiên, ta xác định hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) bằng cách sử dụng các điểm A, B, C đã cho. 1. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3; 4 - 2; 1 - 1) = (-4; 2; 0) \] 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 3; -2 - 2; 5 - 1) = (0; -4; 4) \] 3. Tính tích có hướng \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 4 \\ \end{vmatrix} \] Tính từng thành phần của \(\overrightarrow{n}\): - Thành phần theo \(\mathbf{i}\): \[ \mathbf{i}(2 \cdot 4 - 0 \cdot (-4)) = 8\mathbf{i} \] - Thành phần theo \(\mathbf{j}\): \[ -\mathbf{j}(-4 \cdot 4 - 0 \cdot (-4)) = 16\mathbf{j} \] - Thành phần theo \(\mathbf{k}\): \[ \mathbf{k}(-4 \cdot (-4) - 2 \cdot 0) = 16\mathbf{k} \] Vậy, \(\overrightarrow{n} = (8; 16; 16)\). Do đó, tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \((8; -16; 16)\). Vậy đáp án đúng là \(B.~(8;-16;16).\) Câu 5: Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có phương trình $-2x + 2y - z - 3 = 0$, ta cần tìm các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình này. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $(A, B, C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Từ phương trình $-2x + 2y - z - 3 = 0$, ta có: - Hệ số của $x$ là $A = -2$. - Hệ số của $y$ là $B = 2$. - Hệ số của $z$ là $C = -1$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (-2, 2, -1)$. Bây giờ, ta so sánh với các đáp án đã cho: - A. $(4, -4, 2)$ - B. $(-2, 2, -3)$ - C. $(-4, 4, 2)$ - D. $(0, 0, -3)$ Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-2, 2, -1)$ không trùng với bất kỳ đáp án nào đã cho. Tuy nhiên, có thể có sự nhầm lẫn trong việc ghi đáp án hoặc trong đề bài. Dựa trên phương trình đã cho, vectơ pháp tuyến chính xác phải là $(-2, 2, -1)$. Vì vậy, không có đáp án nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng với vectơ pháp tuyến đã xác định từ phương trình mặt phẳng (P). Câu 6: Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có phương trình \(\frac{x}{4} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} - 1 = 0\), ta cần đưa phương trình này về dạng tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\). Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình với bội chung nhỏ nhất của các mẫu số, tức là 12, để loại bỏ các mẫu số: \[ 12 \left(\frac{x}{4} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} - 1\right) = 0 \] Bước 2: Thực hiện phép nhân: \[ 3x + 2y + 6z - 12 = 0 \] Bước 3: Từ phương trình tổng quát \(3x + 2y + 6z - 12 = 0\), ta xác định được các hệ số \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 6\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \((3; 2; 6)\). Vậy đáp án đúng là \(C.~(3; 2; 6)\). Câu 7: Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha): 2x - 3z + 1 = 0\), ta cần nhớ rằng phương trình tổng quát của một mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Trong đó, \((a, b, c)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng. Đối với mặt phẳng \((\alpha): 2x - 3z + 1 = 0\), ta có: - Hệ số của \(x\) là \(a = 2\), - Hệ số của \(y\) là \(b = 0\) (vì không có \(y\) trong phương trình), - Hệ số của \(z\) là \(c = -3\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n} = (2, 0, -3)\). Vậy đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{n}_2 = (2, 0, -3)\).