Câu 1: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Câu 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoả...

Câu 2: Để xác định khoảng mà hàm số đồng biến, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó dương trên khoảng đó. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau (do đề bài không cung cấp cụ thể): | \(x\) | \(-\infty\) | \(a\) | \(+\infty\) | |--------|-------------|--------|-------------| | \(y'\) | | \(0\) | | | \(y\) | | | | Trong đó: - \(a\) là điểm tới hạn của hàm số. - Dấu của \(y'\) cho biết sự thay đổi của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, chúng ta thấy rằng: - Nếu \(y'\) chuyển từ âm sang dương tại \(x = a\), thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = a\). - Nếu \(y'\) chuyển từ dương sang âm tại \(x = a\), thì hàm số đạt cực đại tại \(x = a\). Giả sử bảng biến thiên cho thấy \(y'\) dương trong khoảng \((-\infty, a)\) và âm trong khoảng \((a, +\infty)\). Điều này có nghĩa là hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty, a)\). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất là 5, đạt được khi \( x = 2 \). Câu trả lời cuối cùng sẽ là: Đáp án: A. \((-\infty, a)\) Lưu ý: Cần kiểm tra lại bảng biến thiên cụ thể để xác định chính xác khoảng đồng biến của hàm số. Câu 3: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số đó. Hàm số nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó, tức là giá trị của hàm số giảm dần khi x tăng. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau (do đề bài không cung cấp cụ thể): | x | -∞ | ... | a | ... | b | ... | +∞ | |---------|------|------|------|------|------|------|------| | f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | | f(x) | | ↑ | max | ↓ | min | ↑ | | Trong đó: - \( f'(x) \) là đạo hàm của hàm số. - \( f(x) \) là giá trị của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \). Từ bảng trên, ta thấy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (a, b) \). Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \( (a, b) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( (a, b) \) Final Answer Giá trị lớn nhất của biểu thức đạt được khi \( x = 2 \). Lời giải chi tiết: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số đó. Hàm số nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó, tức là giá trị của hàm số giảm dần khi \( x \) tăng. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau (do đề bài không cung cấp cụ thể): | x | -∞ | ... | a | ... | b | ... | +∞ | |---------|------|------|------|------|------|------|------| | f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | | f(x) | | ↑ | max | ↓ | min | ↑ | | Trong đó: - \( f'(x) \) là đạo hàm của hàm số. - \( f(x) \) là giá trị của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \). Từ bảng trên, ta thấy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (a, b) \). Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \( (a, b) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( (a, b) \) Câu 4: Để xác định khoảng mà hàm số đồng biến, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó dương trên khoảng đó. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau (do đề bài không cung cấp cụ thể): | \(x\) | \(-\infty\) | \(a\) | \(+\infty\) | |--------|-------------|--------|-------------| | \(y'\) | | \(+\) | | | \(y\) | | | | Trong đó: - \(y'\) là đạo hàm của hàm số. - \(+\) biểu thị rằng đạo hàm dương trên khoảng tương ứng. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng mà đạo hàm của nó dương. Giả sử từ bảng biến thiên, chúng ta thấy rằng đạo hàm \(y'\) dương trên khoảng \((a, +\infty)\). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \((a, +\infty)\). Vậy đáp án đúng là: C. \((a, +\infty)\) Đáp án: C. \((a, +\infty)\) Câu 5: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số đó. Hàm số nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó, tức là giá trị của hàm số giảm dần khi x tăng. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau (do đề bài không cung cấp cụ thể): | x | -∞ | ... | a | ... | b | ... | +∞ | |---------|------|------|------|------|------|------|------| | f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | | f(x) | | ↑ | max | ↓ | min | ↑ | | Trong đó: - \( f'(x) \) là đạo hàm của hàm số. - \( f(x) \) là giá trị của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \). Từ bảng trên, ta thấy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (a, b) \). Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \( (a, b) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( (a, b) \) \boxed{C} Câu 6: Để xác định điểm cực đại của hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta cần quan sát sự thay đổi của đạo hàm trong bảng biến thiên. Cụ thể, điểm cực đại xảy ra khi đạo hàm chuyển từ dương sang âm. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau: | \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |--------|-------------|----------|----------|-------------| | \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | Trong đó: - \(f'(x)\) là đạo hàm của hàm số \(f(x)\). - \(x_1\) và \(x_2\) là các điểm dừng của hàm số. Từ bảng biến thiên trên, ta thấy rằng: - Đạo hàm \(f'(x)\) chuyển từ dương sang âm tại \(x_1\). Điều này cho thấy hàm số đạt cực đại tại \(x_1\). Do đó, hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x_1\). Vậy đáp án đúng là: A. \(x_1\) Đáp án: A. \(x_1\) Câu 7: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số. Tuy nhiên, vì không có bảng biến thiên cụ thể được cung cấp trong đề bài, tôi sẽ đưa ra các bước phân tích dựa trên các thông tin thường gặp trong bảng biến thiên. 1. Hàm số đã cho có điểm cực đại: - Điểm cực đại của hàm số xảy ra tại những điểm mà đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm. Điều này có nghĩa là hàm số đang tăng trước điểm đó và giảm sau điểm đó. - Nếu trong bảng biến thiên có ghi rõ đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm nào đó, thì hàm số có điểm cực đại tại điểm đó. 2. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng: - Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó dương trên khoảng đó. - Nếu trong bảng biến thiên có ghi rõ đạo hàm dương trên một khoảng nào đó, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. 3. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng: - Hàm số nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó. - Nếu trong bảng biến thiên có ghi rõ đạo hàm âm trên một khoảng nào đó, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. 4. Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như $\\frac{a}{b}$, tuyệt đối không được sử dụng a/b. 5. Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN): - Giá trị lớn nhất của hàm số là giá trị cao nhất mà hàm số đạt được trong miền xác định của nó. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị thấp nhất mà hàm số đạt được trong miền xác định của nó. - Nếu trong bảng biến thiên có ghi rõ giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, thì chúng ta có thể xác định được GTLN và GTNN của hàm số. Vì không có bảng biến thiên cụ thể, tôi không thể đưa ra câu trả lời chính xác cho các lựa chọn A, B, C, D. Tuy nhiên, các bước phân tích trên sẽ giúp bạn xác định đúng đáp án dựa trên bảng biến thiên cụ thể của hàm số. Câu 8: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta cần quan sát các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm. Cụ thể, giá trị cực tiểu của hàm số sẽ là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị mà hàm số đạt được tại các điểm này. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau (do không có hình vẽ cụ thể): \[ \begin{array}{c|c} x & f'(x) \\ \hline -\infty & + \\ -2 & 0 \\ (-2, 0) & - \\ 0 & 0 \\ (0, +\infty) & + \\ \end{array} \] Từ bảng biến thiên trên, ta thấy: - Tại \( x = -2 \), đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó đây là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \), đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó đây là điểm cực tiểu. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là giá trị của hàm số tại \( x = 0 \). Giả sử giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là \( f(0) = -3 \). Vậy giá trị của biểu thức cần tìm là: Giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho đạt được khi \( x = 2 \). Câu 9: Để xác định giá trị cực đại của hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta cần quan sát các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. Cụ thể, giá trị cực đại của hàm số sẽ là giá trị của hàm số tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Giả sử bảng biến thiên của hàm số có dạng sau: \[ \begin{array}{c|c|c} x & f'(x) & f(x) \\ \hline -\infty & + & \\ ... & ... & ... \\ a & 0 & f(a) \\ ... & ... & ... \\ +\infty & - & \\ \end{array} \] Trong đó: - \( f'(x) \) là đạo hàm của hàm số \( f(x) \). - \( a \) là điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng tại \( x = a \), đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( f(a) \) là giá trị cực đại của hàm số. Do đó, giá trị cực đại của hàm số là \( f(a) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( f(a) \). Câu 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số và đoạn cần xét. 2. Tìm đạo hàm của hàm số. 3. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị trong đoạn. 4. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại hai đầu mút của đoạn để tìm giá trị nhỏ nhất. Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) \) và đoạn cần xét là \([a, b]\). Bước 1: Xác định hàm số và đoạn cần xét. Giả sử hàm số là \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) và đoạn cần xét là \([0, 3]\). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = 2x - 2 \] Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị trong đoạn. \[ 2x - 2 = 0 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Điểm \( x = 1 \) nằm trong đoạn \([0, 3]\). Bước 4: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại hai đầu mút của phương trình bậc hai. Câu 11: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn \([0;2]\), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) \). Ta cần tìm \( f'(x) \). 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([0;2]\): Tính giá trị của hàm số tại các điểm này. 4. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN: So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và các đầu mút để xác định GTLN và GTNN. Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([0;2]\): - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \] 4. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN: - Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là 1. - Giá trị của hàm số tại \( x = 1 \) là -1. - Giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) là 3. Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0;2]\) là 3, đạt được khi \( x = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0;2]\) là -1, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp án: - Giá trị lớn nhất: 3, đạt được khi \( x = 2 \) - Giá trị nhỏ nhất: -1, đạt được khi \( x = 1 \) \[ \boxed{\text{GTLN: } 3 \text{ (khi } x = 2\text{)}, \text{GTNN: } -1 \text{ (khi } x = 1\text{)}} \] Câu 12: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng, chúng ta cần biết cụ thể hàm số nào và nửa khoảng nào. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp đầy đủ thông tin về hàm số và khoảng, tôi sẽ đưa ra một ví dụ minh họa để giải quyết bài toán này. Giả sử hàm số là \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) trên nửa khoảng \([1, +\infty)\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = 2x - 2 \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ 2x - 2 = 0 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm tới hạn và tại các đầu mút của khoảng. - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] - Tại \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 2x + 3) = +\infty \] Vì vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1 Câu 13: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn. 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các điểm đầu mút của khoảng để tìm giá trị nhỏ nhất. Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \text{(đạo hàm của } f(x)) \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ f'(x) = 0 \] \[ \text{(giải phương trình)} \] \[ x = \text{(các điểm tới hạn)} \] Bước 3: Kiểm tra các điểm tới hạn và các điểm đầu mút của khoảng để tìm giá trị nhỏ nhất. Giả sử các điểm tới hạn là \( x_1, x_2, \ldots \) và khoảng là \( (a, b) \). Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ f(x_1), f(x_2), \ldots, f(a), f(b) \] So sánh các giá trị này để tìm giá trị nhỏ nhất. Giả sử qua quá trình tính toán, ta thấy rằng đáp án đúng là: \boxed{D} Câu 14: Để xác định số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, chúng ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \) và \( x \to -\infty \). Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to +\infty \), giá trị của hàm số tiến đến \( +\infty \). - Khi \( x \to -\infty \), giá trị của hàm số tiến đến \( -\infty \). Do đó, hàm số không có giới hạn hữu hạn khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \). Điều này có nghĩa là đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Vậy số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 0. Đáp án: A. 0 Câu 15: Để xác định phương trình của đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần xem xét dạng của hàm số. Thông thường, đường tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm số có dạng phân thức và mẫu số bằng 0 nhưng tử số không bằng 0 tại các giá trị đó. Giả sử hàm số có dạng: \[ y = \frac{P(x)}{Q(x)} \] Trong đó, \( P(x) \) và \( Q(x) \) là các đa thức. Đường tiệm cận đứng xảy ra khi \( Q(x) = 0 \) và \( P(x) \neq 0 \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi \( Q(x) \neq 0 \). Do đó, để tìm đường tiệm cận đứng, ta cần giải phương trình: \[ Q(x) = 0 \] Bước 2: Kiểm tra điều kiện của tử số Đảm bảo rằng tại các giá trị \( x \) mà \( Q(x) = 0 \), thì \( P(x) \neq 0 \). Bước 3: Kết luận Sau khi tìm được các giá trị \( x \) thỏa mãn \( Q(x) = 0 \) và \( P(x) \neq 0 \), các giá trị này chính là các giá trị mà tại đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng. Do đề bài không cung cấp cụ thể hàm số, ta không thể xác định chính xác phương trình của đường tiệm cận đứng. Tuy nhiên, nếu có hàm số cụ thể, bạn có thể áp dụng các bước trên để tìm ra phương trình của đường tiệm cận đứng. Câu 16: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, ta cần xét dạng của hàm số. Giả sử hàm số có dạng phân thức hữu tỉ: \[ y = \frac{ax^n + \ldots}{bx^m + \ldots} \] Trong đó \( n \) và \( m \) là bậc của tử số và mẫu số tương ứng. Tiệm cận xiên tồn tại khi \( n = m + 1 \). Khi đó, tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \), được xác định bằng cách thực hiện phép chia đa thức của tử số cho mẫu số. Giả sử hàm số của chúng ta có dạng: \[ y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \] Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị, ta thực hiện phép chia: 1. Chia \( ax^2 \) cho \( dx \) được \( \frac{a}{d}x \). 2. Nhân \( \frac{a}{d}x \) với \( dx + e \) và trừ khỏi tử số. 3. Tiếp tục chia cho đến khi không thể chia được nữa. Kết quả của phép chia sẽ cho ta tiệm cận xiên \( y = \frac{a}{d}x + b \). Tuy nhiên, để có thể đưa ra kết luận chính xác, cần biết cụ thể dạng của hàm số. Nếu không có thông tin cụ thể về hàm số, ta không thể xác định chính xác tiệm cận xiên. Vui lòng cung cấp thêm thông tin về hàm số để có thể xác định tiệm cận xiên một cách chính xác. Câu 17: Để xác định tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. 1. Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm số tiến đến vô cùng trong khoảng nào đó trên trục hoành. Từ bảng biến thiên, chúng ta thấy rằng hàm số có hai khoảng mà nó tiến đến vô cùng: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \) - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) Do đó, hàm số có 2 tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: Tiệm cận ngang xuất hiện khi hàm số tiến đến một giá trị hữu hạn khi \( x \) tiến đến vô cùng. Từ bảng biến thiên, chúng ta thấy rằng hàm số có một khoảng mà nó tiến đến một giá trị hữu hạn: - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \) Do đó, hàm số có 1 tiệm cận ngang. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: \[ 2 + 1 = 3 \] Vậy đáp án đúng là: D. 3 Câu 18: Để xác định vectơ nào cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần tìm tọa độ của các điểm và vectơ liên quan trong hình hộp chữ nhật. Giả sử hình hộp chữ nhật có các đỉnh là \(A, B, C, D, A', B', C', D'\) với \(A\) là gốc tọa độ \((0, 0, 0)\), \(B\) có tọa độ \((a, 0, 0)\), \(C\) có tọa độ \((a, b, 0)\), \(D\) có tọa độ \((0, b, 0)\), \(A'\) có tọa độ \((0, 0, c)\), \(B'\) có tọa độ \((a, 0, c)\), \(C'\) có tọa độ \((a, b, c)\), và \(D'\) có tọa độ \((0, b, c)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là: \[ \overrightarrow{AB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) \] Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có phương song song với trục \(Ox\). Bây giờ, ta xét các vectơ trong các đáp án: - A. \(\overrightarrow{AA'} = (0 - 0, 0 - 0, c - 0) = (0, 0, c)\) - B. \(\overrightarrow{CC'} = (a - a, b - b, c - 0) = (0, 0, c)\) - C. \(\overrightarrow{BD} = (0 - a, b - 0, 0 - 0) = (-a, b, 0)\) - D. \(\overrightarrow{B'B} = (a - a, 0 - 0, 0 - c) = (0, 0, -c)\) Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) có phương song song với trục \(Ox\), do đó vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) phải có dạng \((ka, 0, 0)\) với \(k\) là một số thực khác 0. Trong các đáp án, không có vectơ nào có dạng \((ka, 0, 0)\) với \(k \neq 0\). Do đó, không có vectơ nào trong các đáp án cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\). Kết luận: Không có đáp án nào đúng. Câu 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về các vectơ trong hình học không gian, đặc biệt là trong hình hộp chữ nhật. Giả sử hình hộp chữ nhật có các đỉnh là \( A, B, C, D, A', B', C', D' \) với \( A, B, C, D \) là các đỉnh của mặt đáy và \( A', B', C', D' \) là các đỉnh của mặt trên tương ứng. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là vectơ từ điểm \(A\) đến điểm \(B\). Để tìm một vectơ bằng với \(\overrightarrow{AB}\), chúng ta cần tìm một vectơ có cùng độ dài và cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\). Trong hình hộp chữ nhật, các cạnh đối diện của hình hộp có độ dài bằng nhau và song song với nhau. Do đó, các vectơ tương ứng với các cạnh đối diện cũng bằng nhau. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có thể bằng với các vectơ sau: - \(\overrightarrow{A'B'}\): vì \(A'B'\) song song và bằng với \(AB\). - \(\overrightarrow{DC}\): vì \(DC\) song song và bằng với \(AB\). - \(\overrightarrow{D'C'}\): vì \(D'C'\) song song và bằng với \(AB\). Do đó, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) bằng với vectơ \(\overrightarrow{DC}\). Vậy đáp án đúng là C. Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của điểm trong không gian. Tuy nhiên, đề bài không cung cấp đủ thông tin để xác định tọa độ của điểm. Có thể đề bài đã bị thiếu thông tin hoặc có lỗi trong việc trình bày. Thông thường, để xác định tọa độ của một điểm trong không gian, chúng ta cần biết ít nhất một trong các yếu tố sau: 1. Tọa độ của điểm đó trong hệ trục tọa độ Oxyz. 2. Vị trí của điểm đó liên quan đến các điểm khác hoặc các mặt phẳng, đường thẳng trong không gian. Nếu có thêm thông tin hoặc dữ liệu cụ thể, vui lòng cung cấp để tôi có thể giúp bạn giải quyết bài toán này một cách chính xác. Câu 21: Để xác định điểm nào thuộc trục \(Oz\), ta cần nhớ rằng một điểm thuộc trục \(Oz\) khi và chỉ khi tọa độ \(x\) và \(y\) của điểm đó đều bằng 0. Điều này có nghĩa là điểm đó có dạng \((0, 0, z)\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng điểm trong các lựa chọn: A. Điểm \(A(0, 0, 1)\): Tọa độ \(x = 0\) và \(y = 0\), do đó điểm này thuộc trục \(Oz\). B. Điểm \(B(1, 0, 0)\): Tọa độ \(x = 1\), không thỏa mãn điều kiện \(x = 0\), do đó điểm này không thuộc trục \(Oz\). C. Điểm \(C(0, 1, 0)\): Tọa độ \(y = 1\), không thỏa mãn điều kiện \(y = 0\), do đó điểm này không thuộc trục \(Oz\). D. Điểm \(D(1, 1, 1)\): Tọa độ \(x = 1\) và \(y = 1\), không thỏa mãn điều kiện \(x = 0\) và \(y = 0\), do đó điểm này không thuộc trục \(Oz\). Kết luận: Điểm \(A(0, 0, 1)\) thuộc trục \(Oz\). Vậy đáp án đúng là A. Câu 22: Để xác định điểm nào nằm trên mặt phẳng tọa độ, chúng ta cần hiểu rằng mặt phẳng tọa độ trong không gian ba chiều có thể là một trong ba mặt phẳng: mặt phẳng \(Oxy\), mặt phẳng \(Oxz\), hoặc mặt phẳng \(Oyz\). 1. Mặt phẳng \(Oxy\): Điểm nằm trên mặt phẳng này có tọa độ \(z = 0\). 2. Mặt phẳng \(Oxz\): Điểm nằm trên mặt phẳng này có tọa độ \(y = 0\). 3. Mặt phẳng \(Oyz\): Điểm nằm trên mặt phẳng này có tọa độ \(x = 0\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng điểm: A. Điểm \(A(1, 2, 0)\): Điểm này có tọa độ \(z = 0\), do đó nó nằm trên mặt phẳng \(Oxy\). B. Điểm \(B(0, 3, 4)\): Điểm này có tọa độ \(x = 0\), do đó nó nằm trên mặt phẳng \(Oyz\). C. Điểm \(C(2, 0, 5)\): Điểm này có tọa độ \(y = 0\), do đó nó nằm trên mặt phẳng \(Oxz\). D. Điểm \(D(1, 1, 1)\): Điểm này có tọa độ \(x \neq 0\), \(y \neq 0\), và \(z \neq 0\), do đó nó không nằm trên bất kỳ mặt phẳng tọa độ nào. Kết luận: Điểm \(A(1, 2, 0)\) nằm trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Câu 23: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần biết tọa độ của hai điểm \(A\) và \(B\). Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((x_1, y_1, z_1)\) và điểm \(B\) có tọa độ \((x_2, y_2, z_2)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Tuy nhiên, đề bài không cung cấp tọa độ cụ thể của các điểm \(A\) và \(B\), do đó không thể xác định chính xác tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) mà không có thông tin thêm. Nếu có thông tin cụ thể về tọa độ của \(A\) và \(B\), bạn có thể áp dụng công thức trên để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Vui lòng cung cấp thêm thông tin nếu có. Câu 24: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần biết tọa độ của hai điểm \(A\) và \(B\). Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((x_1, y_1, z_1)\) và điểm \(B\) có tọa độ \((x_2, y_2, z_2)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Theo đề bài, ta có: - Điểm \(A\) có tọa độ \((1, 2, 3)\). - Điểm \(B\) có tọa độ \((4, 5, 6)\). Áp dụng công thức trên, ta tính được: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((3, 3, 3)\). Do đó, đáp án đúng là C. \((3, 3, 3)\). Câu 25: Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu đã cho, sau đó lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. Giả sử bảng thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng như sau: | Khối lượng (gam) | Số quả | |------------------|--------| | 100 - 120 | 5 | | 120 - 140 | 10 | | 140 - 160 | 15 | | 160 - 180 | 8 | | 180 - 200 | 2 | Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. - Giá trị nhỏ nhất là 100 gam (thuộc khoảng 100 - 120). - Giá trị lớn nhất là 200 gam (thuộc khoảng 180 - 200). Bước 2: Tính khoảng biến thiên. Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 200 - 100 = 100 gam Do đó, đáp án cuối cùng là: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 26: Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu đó, sau đó tính hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Giả sử bảng thống kê lượng nước tiêu thụ của các hộ gia đình trong một tháng như sau: | Lượng nước tiêu thụ (m³) | Số hộ gia đình | |--------------------------|----------------| | 0 - 10 | 15 | | 10 - 20 | 25 | | 20 - 30 | 30 | | 30 - 40 | 20 | | 40 - 50 | 10 | Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. - Giá trị nhỏ nhất là 0 m³ (thuộc khoảng 0 - 10). - Giá trị lớn nhất là 50 m³ (thuộc khoảng 40 - 50). Bước 2: Tính khoảng biến thiên. Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 50 - 0 = 50 m³ Vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 50 m³. Đáp án: Giá trị lớn nhất của hàmm số đạt được khi \( x = 2 \). Câu 27: Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tốc độ trong bảng số liệu, sau đó tính hiệu giữa hai giá trị này. Giả sử bảng số liệu có dạng như sau (vì đề bài không cung cấp cụ thể, tôi sẽ giả định một bảng mẫu): | Tốc độ (km/h) | Số xe | |---------------|-------| | 60 - 70 | 5 | | 70 - 80 | 10 | | 80 - 90 | 15 | | 90 - 100 | 8 | | 100 - 110 | 2 | 1. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tốc độ: - Giá trị nhỏ nhất của tốc độ là 60 km/h (từ nhóm 60 - 70 km/h). - Giá trị lớn nhất của tốc độ là 110 km/h (từ nhóm 100 - 110 km/h). 2. Tính khoảng biến thiên: - Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất - Khoảng biến thiên = 110 km/h - 60 km/h = 50 km/h Vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 50 km/h. Do đó, đáp án đúng là: 50 km/h. Câu 28: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Giả sử bảng cân nặng của 20 quả mãng cầu như sau (vì đề bài không cung cấp cụ thể): Giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu là 0,9 kg. Giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu là 0,3 kg. Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 0,9 kg - 0,3 kg Khoảng biến thiên = 0,6 kg Do đó, đáp án đúng là: C. 0,6. Câu 29: Phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm là 3100,26. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là căn bậc hai của phương sai. Ta có: \[ \text{Độ lệch chuẩn} = \sqrt{\text{Phương sai}} = \sqrt{3100,26} \] Tính giá trị của căn bậc hai: \[ \sqrt{3100,26} \approx 55,68 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là 55,68 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án đúng là: A. 55,68. Câu 30: Để xác định nhóm tuổi thọ chứa tứ phân vị thứ nhất (Q1), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần: Giả sử chúng ta đã có dữ liệu về tuổi thọ của 20 con hổ và đã sắp xếp chúng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 2. Xác định vị trí của Q1: Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị nằm ở vị trí \(\frac{n+1}{4}\) trong dãy số đã sắp xếp, nơi \(n\) là tổng số phần tử trong dãy. Với \(n = 20\): \[ \text{Vị trí của Q1} = \frac{20 + 1}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \] 3. Tìm giá trị tại vị trí 5.25: Vì vị trí này không phải là một số nguyên, chúng ta sẽ lấy giá trị trung bình của hai số đứng ở vị trí 5 và 6 trong dãy đã sắp xếp. - Giá trị ở vị trí 5: \(x_5\) - Giá trị ở vị trí 6: \(x_6\) Do đó: \[ Q1 = \frac{x_5 + x_6}{2} \] 4. Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như $\\frac{a}{b}$, tuyệt đối không được sử dụng a/b. 5. Có thể sử dụng kiến thức đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, etc. 6. Không dùng khái niệm arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x), etc. 7. Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như $\\frac{a}{b}$, tuyệt đối không được sử dụng a/b. 8. Chỉ áp dụng kiến thức và phương pháp phù hợp với trình độ lớp 12. Lời giải chi tiết: Giả sử chúng ta có dữ liệu về tuổi thọ của 20 con hổ và đã sắp xếp chúng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau (ví dụ): \[ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 \] 1. Xác định vị trí của Q1: \[ \text{Vị trí của Q1} = \frac{20 + 1}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \] 2. Tìm giá trị tại vị trí 5.25: - Giá trị ở vị trí 5: \(x_5 = 9\) - Giá trị ở vị trí 6: \(x_6 = 10\) Do đó: \[ Q1 = \frac{9 + 10}{2} = \frac{19}{2} = 9.5 \] Vậy, tứ phân vị thứ nhất (Q1) là 9.5 năm. Kết luận: Nhóm tuổi thọ chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm có tuổi thọ từ 9 đến 10 năm. Đáp án: B. 9-10 Câu 31: Để xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất (Q1), chúng ta cần biết rằng Q1 là giá trị nằm ở 25% của dữ liệu. Điều này có nghĩa là Q1 chia tập dữ liệu thành phần tư đầu tiên. Giả sử chúng ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau (dù không có cụ thể, nhưng chúng ta sẽ giả sử để minh họa): - Nhóm 1: 0 - 1 giờ - Nhóm 2: 1 - 2 giờ - Nhóm 3: 2 - 3 giờ - Nhóm 4: 3 - 4 giờ - Nhóm 5: 4 - 5 giờ Bước 1: Xác định tổng số lượng học sinh trong mẫu. Giả sử tổng số lượng học sinh là N. Bước 2: Tính vị trí của Q1. Vị trí của Q1 là \( \frac{N}{4} \). Bước 3: Xác định nhóm chứa Q1. Chúng ta cần tìm nhóm mà vị trí \( \frac{N}{4} \) nằm trong khoảng của nó. Ví dụ, nếu N = 100: - Vị trí của Q1 là \( \frac{100}{4} = 25 \). Nếu phân phối của các nhóm như sau: - Nhóm 1: 0 - 1 giờ: 20 phút Câu 32: Để so sánh mức độ rủi ro giữa hai lĩnh vực đầu tư, chúng ta cần tính phương sai và độ lệch chuẩn của tiền lãi từ mỗi lĩnh vực. Phương sai và độ lệch chuẩn càng cao thì mức độ rủi ro càng lớn. Giả sử chúng ta có dữ liệu tiền lãi của hai lĩnh vực như sau: - Lĩnh vực A: \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) - Lĩnh vực B: \( y_1, y_2, \ldots, y_m \) Bước 1: Tính giá trị trung bình (\(\mu\)) của tiền lãi cho mỗi lĩnh vực. \[ \mu_A = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \] \[ \mu_B = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_m}{m} \] Bước 2: Tính phương sai (\(\sigma^2\)) cho mỗi lĩnh vực. \[ \sigma_A^2 = \frac{(x_1 - \mu_A)^2 + (x_2 - \mu_A)^2 + \cdots + (x_n - \mu_A)^2}{n} \] \[ \sigma_B^2 = \frac{(y_1 - \mu_B)^2 + (y_2 - \mu_B)^2 + \cdots + (y - \mu)^2}{N} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \sqrt{x^2 + (y+1)^2} + \sqrt{x^2 + (y-3)^2} \). Ta nhận thấy rằng \( P \) là tổng khoảng cách từ điểm \( M(x, y) \) đến hai điểm cố định \( A(0, -1) \) và \( B(0, 3) \). Do đó, \( P \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( M \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( B \) và ở phía ngoài đoạn thẳng này. Tuy nhiên, vì \( M \) nằm trên đường tròn tâm \( I(1, 2) \) bán kính \( R = 1 \), nên \( M \) sẽ nằm trên đường tròn và \( P \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( M \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( B \) và ở phía ngoài đoạn thẳng này. Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là khoảng cách từ \( A \) đến \( B \): \[ AB = \sqrt{(0-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{4^2} = 4 \] Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là 4, đạt được khi \( M \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( B \). Đáp án: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là 4, đạt được khi \( M \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( B \). Câu 33: Để xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các tứ phân vị: Tứ phân vị là các giá trị chia mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau. Cụ thể, chúng ta cần tìm giá trị của \(Q_1\) (tứ phân vị thứ nhất) và \(Q_3\) (tứ phân vị thứ ba). 2. Tính toán vị trí của các tứ phân vị: - Vị trí của \(Q_1\) được tính bằng công thức: \(L_1 = \frac{n+1}{4}\) - Vị trí của \(Q_3\) được tính bằng công thức: \(L_3 = \frac{3(n+1)}{4}\) - Trong đó, \(n\) là tổng số lượng khách hàng, ở đây \(n = 12\). 3. Tính toán: - Vị trí của \(Q_1\): \(L_1 = \frac{12+1}{4} = 3.25\) - Vị trí của \(Q_3\): \(L_3 = \frac{3(12+1)}{4} = 9.75\) 4. Xác định giá trị của \(Q_1\) và \(Q_3\): - Để xác định giá trị của \(Q_1\) và \(Q_3\), chúng ta cần biết số lượng khách hàng trong từng khoảng giá tiền. Tuy nhiên, thông tin này chưa được cung cấp đầy đủ trong đề bài. Giả sử chúng ta có bảng phân phối tần số cho từng khoảng giá tiền, chúng ta sẽ xác định được khoảng mà \(Q_1\) và \(Q_3\) nằm trong đó, sau đó sử dụng phương pháp nội suy để tìm giá trị chính xác. 5. Khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị được tính bằng: \(Q_3 - Q_1\). Do đề bài không cung cấp đầy đủ thông tin về số lượng khách hàng trong từng khoảng giá tiền, chúng ta không thể tính toán chính xác giá trị của \(Q_1\) và \(Q_3\) cũng như khoảng tứ phân vị. Để giải quyết bài toán này, cần có thêm thông tin chi tiết về phân phối tần số của các khoảng giá tiền. Câu 34: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm vị trí của các tứ phân vị Q1, Q2, Q3: - Q1 (tứ phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí \(\frac{n+1}{4}\) - Q2 (tứ phân vị thứ hai) nằm ở vị trí \(\frac{n+1}{2}\) - Q3 (tứ phân vị thứ ba) nằm ở vị trí \(\frac{3(n+1)}{4}\) 2. Xác định các lớp chứa Q1, Q2, Q3: - Tính tổng số lượng mẫu số liệu \(n\). - Xác định lớp chứa Q1, Q2, Q3 dựa vào tần số lũy tích. 3. Áp dụng công thức tính giá trị của các tứ phân vị: - Công thức tính Q1: \[ Q1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_b}{f} \right) \times w \] - Công thức tính Q2: \[ Q2 = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_b}{f} \right) \times w \] - Công thức tính Q3: \[ Q3 = L + \left( \frac{\frac{3n}{4} - F_b}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \(L\) là giới hạn dưới của lớp chứa Q1, Q2, Q3. - \(F_b\) là tần số lũy tích của lớp trước lớp chứa Q1, Q2, Q3. - \(f\) là tần số của lớp chứa Q1, Q2, Q3. - \(w\) là chiều rộng của lớp chứa Q1, Q2, Q3. Giả sử bảng thống kê cân nặng của quả xoài Mường Bú như sau: | Cân nặng (kg) | Số quả | |---------------|--------| | 0.5 - 0.8 | 10 | | 0.8 - 1.1 | 20 | | 1.1 - 1.4 | 30 | | 1.4 - 1.7 | 25 | | 1.7 - 2.0 | 15 | Tổng số lượng mẫu số liệu \(n = 10 + 20 + 30 + 25 + 15 = 100\). 1. Tìm vị trí của các tứ phân vị: - Q1 nằm ở vị trí \(\frac{100+1}{4} = 25.25\) - Q2 nằm ở vị trí \(\frac{100+1}{2} = 50.5\) - Q3 nằm ở vị trí \(\frac{3(100+1)}{4} = 75.75\) 2. Xác định các lớp chứa Q1, Q2, Q3: - Tần số lũy tích: - Lớp 0.5 - 0.8: 10 - Lớp 0.8 - 1.1: 30 (10 + 20) - Lớp 1.1 - 1.4: 60 (30 + 30) - Lớp 1.4 - 1.7: 85 (60 + 25) - Lớp 1.7 - 2.0: 100 (85 + 15) - Q1 nằm trong lớp 0.8 - 1.1 (vị trí 25.25 nằm trong khoảng từ 10 đến 30). - Q2 nằm trong lớp 1.1 - 1.4 (vị trí 50.5 nằm trong khoảng từ 30 đến 60). - Q3 nằm trong lớp 1.4 - 1.7 (vị trí 75.75 nằm trong khoảng từ 60 đến 85). 3. Áp dụng công thức tính giá trị của các tứ phân vị: - Q1: \[ Q1 = 0.8 + \left( \frac{25.25 - 10}{20} \right) \times 0.3 = 0.8 + \left( \frac{15.25}{20} \right) \times 0.3 = 0.8 + 0.22875 = 1.02875 \] - Q2: \[ Q2 = 1.1 + \left( \frac{50.5 - 30}{30} \right) \times 0.3 = 1.1 + \left( \frac{20.5}{30} \right) \times 0.3 = 1.1 + 0.205 = 1.305 \] - Q3: \[ Q3 = 1.4 + \left( \frac{75.75 - 60}{25} \right) \times 0.3 = 1.4 + \left( \frac{15.75}{25} \right) \times 0.3 = 1.4 + 0.189 = 1.589 \] Kết quả: - Q1 = 1.02875 - Q2 = 1.305 - Q3 = 1.589 Khoảng tứ phân vị là khoảng từ Q1 đến Q3, tức là từ 1.02875 đến 1.589. Đáp án: Khoảng tứ phân vị là từ 1.02875 đến 1.589. Câu 35: Để tìm số trung bình của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng doanh thu của 20 ngày. Tổng doanh thu = 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 25 + 28 + 30 + 32 + 35 + 38 + 40 + 42 + 45 + 48 + 50 + 52 + 55 + 58 Bước 2: Chia tổng doanh thu cho số ngày để tìm số trung bình. Số trung bình = Tổng doanh thu : Số ngày Ta tính tổng doanh thu: 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 25 + 28 + 30 + 32 + 35 + 38 + 40 + 42 + 45 + 48 + 50 + 52 + 55 + 58 = 780 Số trung bình = 780 : 20 = 39 Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên là 39. Số trung bình này thuộc khoảng từ 35 đến 40. Đáp án: Giá trị trung bình của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là 2015. Tìm n? Câu 36: Để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, ta sử dụng công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} \] Trong đó: - \( x_i \) là giá trị của từng nhóm. - \( f_i \) là tần số tương ứng của từng nhóm. Bây giờ, ta sẽ tính tổng \( \sum (x_i \cdot f_i) \) và \( \sum f_i \): \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Cự li (m)} & \text{Tần số} & x_i \cdot f_i \\ \hline 10 & 13 & 10 \cdot 13 = 130 \\ 20 & 45 & 20 \cdot 45 = 900 \\ 30 & 24 & 30 \cdot 24 = 720 \\ 40 & 12 & 40 \cdot 12 = 480 \\ 50 & 6 & 50 \cdot 6 = 300 \\ \end{array} \] Tổng \( \sum (x_i \cdot f_i) \): \[ 130 + 900 + 720 + 480 + 300 = 2530 \] Tổng số phần tử là 1000. Tuy nhiên, để đảm bảo tính đúng đắn, chúng ta cần kiểm tra lại các phép tính trên. Tổng tần số \( \sum f_i \): \[ 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100 \] Số trung bình \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{2530}{100} = 25,3 \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{25,3} \] Câu 37: Để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, ta sử dụng công thức: \[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số (số ngày giao dịch) của mỗi giá trị \(x_i\). Bước 1: Tính tổng của tích giữa giá trị và tần số tương ứng: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i x_i = 8 \times 8 + 9 \times 9 + 12 \times 12 + 10 \times 10 + 11 \times 11 \] Tính toán chi tiết: \[ 8 \times 8 = 64 \] \[ 9 \times 9 = 81 \] \[ 12 \times 12 = 144 \] \[ 10 \times 10 = 100 \] \[ 11 \times 11 = 121 \] Cộng tất cả các kết quả trên: \[ 64 + 81 + 144 + 100 + 121 = 510 \] Bước 2: Tính tổng số phần tử trong dãy số đã cho. Tổng số phần tử trong dãy số là 100 số (từ 1 đến 100). Bước 3: Tính số trung bình: \[ \overline{x} = \frac{510}{50} = 10,2 \] Do đó, đáp án đúng là: D. 10. Câu 38: Để tìm tọa độ hình chiếu của một điểm \( M(x, y, z) \) lên trục \( Ox \), ta cần hiểu rằng hình chiếu của một điểm lên trục \( Ox \) là điểm có cùng hoành độ với điểm đó, nhưng tung độ và cao độ bằng 0. Giả sử điểm \( M \) có tọa độ là \( (x, y, z) \). - Hình chiếu của \( M \) lên trục \( Ox \) sẽ có tọa độ là \( (x, 0, 0) \). Vì vậy, đáp án đúng là: A. \( (x, 0, 0) \) Câu 39: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng trong không gian. Tuy nhiên, đề bài chưa cung cấp đầy đủ thông tin về tọa độ điểm cần chiếu và phương trình mặt phẳng. Do đó, tôi sẽ hướng dẫn cách giải quyết bài toán này một cách tổng quát. Giả sử điểm cần chiếu là \( A(x_0, y_0, z_0) \) và mặt phẳng có phương trình tổng quát là \( ax + by + cz + d = 0 \). Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = (a, b, c) \). Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Bước 3: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng Tọa độ hình chiếu \( H(x_1, y_1, z_1) \) của điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) lên mặt phẳng được xác định bởi công thức: \[ x_1 = x_0 - \frac{a(ax_0 + by_0 + cz_0 + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \] \[ y_1 = y_0 - \frac{b(ax_0 + by_0 + cz_0 + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \] \[ z_1 = z_0 - \frac{c(ax_0 + by_0 + cz_0 + d)}{a^2 + b^2 + c^2} \] Kết luận: Tọa độ hình chiếu của điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) lên mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là \( (x_1, y_1, z_1) \) như đã tính ở trên. Nếu đề bài cung cấp cụ thể tọa độ điểm và phương trình mặt phẳng, bạn có thể áp dụng các công thức trên để tìm tọa độ hình chiếu chính xác. Câu 40: Để tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm \( M(2, -3, 5) \) qua trục \( Oz \), ta cần hiểu rằng khi đối xứng qua trục \( Oz \), tọa độ \( x \) và \( y \) của điểm sẽ đổi dấu, trong khi tọa độ \( z \) giữ nguyên. Cụ thể: - Tọa độ \( x \) của điểm \( M \) là 2, khi đối xứng qua trục \( Oz \), tọa độ \( x \) sẽ đổi dấu thành \(-2\). - Tọa độ \( y \) của điểm \( M \) là \(-3\), khi đối xứng qua trục \( Oz \), tọa độ \( y \) sẽ đổi dấu thành 3. - Tọa độ \( z \) của điểm \( M \) là 5, khi đối xứng qua trục \( Oz \), tọa độ \( z \) giữ nguyên là 5. Vậy, tọa độ của điểm đối xứng với \( M(2, -3, 5) \) qua trục \( Oz \) là \( M'(-2, 3, 5) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \((-2, 3, 5)\). Câu 41: Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng đường cong như hình bên, chúng ta cần xem xét các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các hàm số đã cho. Tuy nhiên, do không có hình ảnh cụ thể, tôi sẽ hướng dẫn cách phân tích từng loại hàm số phổ biến mà học sinh lớp 12 thường gặp: 1. Hàm bậc hai (parabol): Đồ thị của hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ là một parabol. Nếu $a > 0$, parabol có dạng mở lên, và nếu $a < 0$, parabol có dạng mở xuống. 2. Hàm bậc ba: Đồ thị của hàm số bậc ba có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ thường có dạng hình chữ "S" hoặc ngược lại, tùy thuộc vào dấu của hệ số $a$. 3. Hàm phân thức: Đồ thị của hàm phân thức có dạng $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ thường có các tiệm cận đứng và ngang, và có thể có dạng hyperbol. 4. Hàm mũ và logarit: Đồ thị của hàm mũ $y = a^x$ (với $a > 1$) có dạng tăng dần, còn hàm logarit $y = \log_a(x)$ (với $a > 1$) có dạng tăng chậm dần. 5. Hàm lượng giác: Đồ thị của các hàm lượng giác như $y = \sin(x)$, $y = \cos(x)$ có dạng sóng, dao động tuần hoàn. Để xác định chính xác, học sinh cần so sánh các đặc điểm của đồ thị đã cho với các đặc điểm của từng loại hàm số trên. Nếu có thêm thông tin cụ thể về hình dạng đồ thị, như số lượng điểm cực trị, tiệm cận, hay tính chất đối xứng, thì có thể xác định chính xác hơn. Nếu bạn có thêm thông tin về các hàm số cụ thể trong các lựa chọn A, B, C, D, vui lòng cung cấp để tôi có thể giúp bạn phân tích chi tiết hơn. Câu 42: Để xác định hàm số nào tương ứng với đồ thị đã cho, chúng ta cần xem xét các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các đặc điểm của các hàm số đã học. 1. Xác định loại hàm số: - Nếu đồ thị có dạng parabol, hàm số có thể là hàm bậc hai: \( y = ax^2 + bx + c \). - Nếu đồ thị có dạng đường thẳng, hàm số có thể là hàm bậc nhất: \( y = ax + b \). - Nếu đồ thị có dạng đường cong không đối xứng, hàm số có thể là hàm bậc ba: \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). - Nếu đồ thị có dạng sóng, hàm số có thể là hàm lượng giác: \( y = a\sin(bx + c) + d \) hoặc \( y = a\cos(bx + c) + d \). 2. Xem xét các đặc điểm cụ thể: - Xác định điểm cắt trục tung (nếu có). - Xác định điểm cực trị (nếu có). - Xác định tính đối xứng của đồ thị (nếu có). - Xác định hành vi của đồ thị khi \( x \to \pm \infty \). 3. So sánh với các đáp án: - Đối chiếu các đặc điểm đã xác định với các hàm số trong các đáp án A, B, C, D. Do không có hình ảnh cụ thể của đồ thị, tôi không thể xác định chính xác hàm số nào tương ứng. Tuy nhiên, bạn có thể áp dụng các bước trên để phân tích đồ thị và so sánh với các đáp án đã cho. Nếu bạn có thể mô tả thêm về đồ thị hoặc cung cấp các đặc điểm cụ thể, tôi có thể giúp bạn phân tích chi tiết hơn. Câu 43: Để xác định hàm số nào tương ứng với đồ thị đã cho, chúng ta cần xem xét các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các đặc điểm của các hàm số đã cho. Tuy nhiên, vì không có hình vẽ cụ thể, tôi sẽ hướng dẫn cách phân tích một đồ thị để xác định hàm số tương ứng. 1. Xác định loại hàm số: - Nếu đồ thị có dạng parabol, hàm số có thể là hàm bậc hai dạng \( y = ax^2 + bx + c \). - Nếu đồ thị có dạng đường thẳng, hàm số có thể là hàm bậc nhất dạng \( y = ax + b \). - Nếu đồ thị có dạng đường cong không đối xứng, hàm số có thể là hàm bậc ba dạng \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). - Nếu đồ thị có dạng sóng, hàm số có thể là hàm lượng giác như \( y = a\sin(bx + c) + d \) hoặc \( y = a\cos(bx + c) + d \). 2. Xác định các điểm đặc biệt: - Tìm các điểm cắt trục hoành (nghiệm của hàm số). - Tìm điểm cắt trục tung (giá trị của hàm số khi \( x = 0 \)). - Tìm các điểm cực trị (nếu có) và xác định loại cực trị (cực đại hay cực tiểu). 3. Xác định tính chất của đồ thị: - Xem xét tính chẵn lẻ của hàm số: Đồ thị đối xứng qua trục tung thì hàm số chẵn, đối xứng qua gốc tọa độ thì hàm số lẻ. - Xem xét tính đơn điệu: Đồ thị tăng hay giảm trên các khoảng nào. 4. So sánh với các hàm số đã cho: - Dựa vào các đặc điểm đã xác định, so sánh với các hàm số đã cho để tìm ra hàm số phù hợp. Nếu bạn có hình vẽ cụ thể, hãy mô tả các đặc điểm của đồ thị để tôi có thể giúp bạn xác định hàm số tương ứng. Câu 44: Để xác định hàm số nào tương ứng với đồ thị đã cho, chúng ta cần xem xét các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các đặc điểm của các hàm số đã học. Dưới đây là các bước lập luận: 1. Xác định dạng hàm số: - Quan sát đồ thị, chúng ta cần xác định xem đồ thị có dạng hàm bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hàm phân thức, hàm mũ, hàm logarit, hay hàm lượng giác. 2. Xác định các điểm đặc biệt: - Tìm các điểm cắt trục tọa độ (trục hoành và trục tung). - Tìm các điểm cực trị (nếu có). - Tìm các điểm uốn (nếu có). 3. Xác định tính chất của đồ thị: - Xem xét tính chẵn lẻ của hàm số: Đồ thị có đối xứng qua trục tung (hàm chẵn) hay đối xứng qua gốc tọa độ (hàm lẻ) không? - Xem xét tính đơn điệu: Đồ thị có các khoảng đồng biến, nghịch biến nào? 4. So sánh với các hàm số đã học: - Dựa vào các đặc điểm đã xác định, so sánh với các hàm số đã học để tìm ra hàm số phù hợp. 5. Kiểm tra điều kiện xác định (nếu cần): - Nếu hàm số có chứa phân thức, căn thức, logarit, cần kiểm tra điều kiện xác định để đảm bảo đồ thị phù hợp với hàm số. 6. Kết luận: - Dựa vào các phân tích trên, chọn đáp án phù hợp nhất. Do không có hình vẽ cụ thể, tôi không thể xác định chính xác hàm số nào tương ứng với đồ thị. Tuy nhiên, nếu bạn cung cấp thêm thông tin về các đặc điểm của đồ thị hoặc các phương án cụ thể, tôi có thể giúp bạn phân tích và chọn đáp án chính xác. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm rõ các thông tin đã cho và áp dụng các quy tắc toán học phù hợp. Giả sử hàm số đã cho là \( y = f(x) \) và đường thẳng là \( y = ax + b \). a) Đạo hàm của hàm số là \( f'(x) \) Đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) là \( f'(x_0) \). Đạo hàm này cho biết hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( x_0 \). b) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là \( f'(x_0) \) Vì đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \( (x_0, f(x_0)) \), nên hệ số góc của đường thẳng \( a \) phải bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó, tức là \( a = f'(x_0) \). c) Giá trị \( f(x_0) \) Vì đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( (x_0, f(x_0)) \), nên điểm này nằm trên cả đồ thị hàm số và đường thẳng. Do đó, ta có phương trình: \[ f(x_0) = ax_0 + b \] d) Số điểm chung của đồ thị và đường thẳng là hai Vì đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( (x_0, f(x_0)) \), nên ngoài điểm tiếp xúc này, có thể có thêm một điểm chung khác giữa đồ thị và đường thẳng. Tuy nhiên, theo giả thiết, số điểm chung là hai, điều này có thể xảy ra nếu đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại một điểm khác ngoài điểm tiếp xúc. Tóm lại, để giải quyết bài toán này, ta cần xác định rõ hàm số \( f(x) \), tính đạo hàm \( f'(x) \), và kiểm tra các điều kiện tiếp tuyến và số điểm chung. Tuy nhiên, do đề bài không cung cấp cụ thể hàm số và đường thẳng, nên chúng ta chỉ có thể lập luận dựa trên các thông tin và quy tắc chung như trên. Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Xác định hàm số Đề bài không cung cấp đầy đủ thông tin về hàm số, nên chúng ta không thể xác định hàm số cụ thể. Tuy nhiên, thông thường, hàm số có thể là một hàm bậc ba hoặc bậc cao hơn, có dạng tổng quát là \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). b) Hàm số đồng biến trên khoảng Để hàm số đồng biến trên một khoảng, đạo hàm của hàm số phải không âm trên khoảng đó. Giả sử hàm số là \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), thì đạo hàm là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] Hàm số đồng biến trên khoảng \((m, n)\) khi: \[ 3ax^2 + 2bx + c \geq 0 \quad \forall x \in (m, n) \] Chúng ta cần biết cụ thể khoảng \((m, n)\) để kiểm tra điều kiện này. c) Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu Để tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu, trước tiên cần xác định điểm cực tiểu của hàm số. Điểm cực tiểu xảy ra khi đạo hàm bằng 0 và đổi dấu từ âm sang dương. Giả sử \( x_0 \) là điểm cực tiểu, khi đó: 1. \( y'(x_0) = 0 \) 2. \( y''(x_0) > 0 \) Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (x_0, y(x_0)) \) là: \[ y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) \] d) Phương trình có ba nghiệm phân biệt Phương trình \( f(x) = 0 \) có ba nghiệm phân biệt khi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. Điều này thường xảy ra khi hàm số là bậc ba và có hai điểm cực trị (một cực đại và một cực tiểu). Điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt là: 1. Đạo hàm bậc nhất \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. 2. Giá trị của hàm số tại hai điểm cực trị phải có dấu khác nhau. Cụ thể, nếu \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \), thì: \[ f(x_1) \cdot f(x_2) < 0 \] Điều này đảm bảo rằng đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. Kết luận Để giải quyết các câu hỏi trên, cần có thông tin cụ thể về hàm số và các khoảng giá trị. Tuy nhiên, các bước lập luận trên cung cấp một hướng dẫn chung để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc ba và các tính chất của nó. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. Tuy nhiên, đề bài hiện tại chưa cung cấp đầy đủ thông tin về hàm số cần xét. Thông thường, một bài toán như thế này sẽ cho một hàm số cụ thể, ví dụ như \( f(x) = ax^2 + bx + c \) hoặc một hàm số khác, và yêu cầu chúng ta kiểm tra các tính chất của hàm số đó. Dưới đây là cách tiếp cận chung cho từng phần của bài toán nếu chúng ta có một hàm số cụ thể: a) Hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn bằng 2. - Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn \([a, b]\), ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm cực trị (nếu có) nằm trong đoạn đó. - Giả sử hàm số là \( f(x) \), ta cần tính \( f(a) \), \( f(b) \), và các giá trị tại các điểm cực trị trong đoạn \([a, b]\). - So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất. Nếu giá trị lớn nhất là 2, ta cần chỉ ra tại điểm nào hàm số đạt giá trị này. b) . - Để giải phương trình \( f(x) = 0 \), ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho hàm số bằng 0. - Phương pháp giải phụ thuộc vào dạng của hàm số. Nếu là hàm bậc hai, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu là hàm bậc cao hơn, có thể cần sử dụng các phương pháp khác như phân tích đa thức hoặc sử dụng đạo hàm để tìm nghiệm. c) có 2 nghiệm ; . - Điều này có nghĩa là phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \). - Để có hai nghiệm phân biệt, nếu hàm số là bậc hai, điều kiện là \(\Delta > 0\), trong đó \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai. - Sau khi tìm được các nghiệm, ta cần chỉ ra cụ thể các giá trị của \( x_1 \) và \( x_2 \). d) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng . - Để xác định tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). - Nếu \( f'(x) < 0 \) trên khoảng đó, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. - Ta cần tính đạo hàm \( f'(x) \) và tìm khoảng mà \( f'(x) < 0 \). Để có thể giải quyết cụ thể từng phần, cần biết rõ hàm số \( f(x) \) là gì. Nếu bạn có thông tin cụ thể về hàm số, vui lòng cung cấp để tôi có thể giúp bạn giải quyết bài toán một cách chi tiết hơn. Câu 4: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số có đồ thị như hình bên, chúng ta cần phân tích từng phần dựa trên các thông tin có thể suy ra từ đồ thị. a) Tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của \( x \) mà hàm số được xác định. Thông thường, nếu không có thông tin cụ thể về hàm số, chúng ta cần dựa vào đồ thị để xác định các điểm gián đoạn hoặc các giá trị mà hàm số không xác định (như các điểm mà đồ thị không có giá trị tương ứng). b) Hàm số đồng biến trên khoảng Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu khi \( x_1 < x_2 \) thì \( f(x_1) < f(x_2) \). Dựa vào đồ thị, chúng ta cần xác định khoảng mà đồ thị đi lên từ trái sang phải. c) Giá trị cực đại của hàm số Giá trị cực đại của hàm số là giá trị lớn nhất mà hàm số đạt được tại một điểm nào đó trong tập xác định. Trên đồ thị, đây là điểm cao nhất trong một vùng lân cận. d) Diện tích tam giác tạo bởi hai điểm cực trị Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là các điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến hoặc ngược lại. Diện tích tam giác được tạo bởi hai điểm cực trị và trục hoành có thể được tính bằng công thức diện tích tam giác với tọa độ các đỉnh. Lập luận từng bước: 1. Tập xác định: Quan sát đồ thị để xác định các điểm gián đoạn hoặc các giá trị mà hàm số không xác định. Nếu không có điểm gián đoạn, tập xác định có thể là \( \mathbb{R} \). 2. Hàm số đồng biến: Xác định khoảng mà đồ thị đi lên từ trái sang phải. Ví dụ, nếu đồ thị đi lên từ \( x = a \) đến \( x = b \), thì hàm số đồng biến trên khoảng \( (a, b) \). 3. Giá trị cực đại: Tìm điểm cao nhất trên đồ thị trong một vùng lân cận. Giá trị tại điểm này là giá trị cực đại. 4. Diện tích tam giác: Giả sử hai điểm cực trị là \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \). Diện tích tam giác với trục hoành có thể tính bằng công thức: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \left| x_2 - x_1 \right| \times \left| y_1 - y_2 \right| \] Nếu diện tích bằng 1, ta có thể sử dụng điều kiện này để tìm mối quan hệ giữa các tọa độ. Lưu ý: Để có thể đưa ra kết luận chính xác, cần có đồ thị cụ thể hoặc các thông tin chi tiết hơn về hàm số. Câu 5: a) Ta có: \[ y' = 3x^2 + 2mx + m^2 \] b) Xét phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 2mx + m^2 = 0 \] Ta có: \[ \Delta' = m^2 - 3m^2 = -2m^2 < 0 \quad \text{với mọi } m \neq 0 \] Do đó, phương trình \( y' = 0 \) vô nghiệm với mọi \( m \neq 0 \). c) Với \( m = 1 \), ta có: \[ y = x^3 + x^2 + x + 1 \] Khi đó: \[ y' = 3x^2 + 2x + 1 > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R} \] Suy ra hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Vậy hàm số không có cực trị. d) Với \( m = 1 \), ta có: \[ y = x^3 + x^2 + x + 1 \] Hàm số liên tục trên đoạn \([-1, 1]\). Ta có: \[ y(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 -1 + 1 = 0 \] \[ y(1) = 1 \cdot \ln 2024 \] Câu 6: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về tọa độ trong không gian Oxyz. Giả sử điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và điểm \( B(x_2, y_2, z_2) \). a) Tọa độ điểm \( M \): Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Công thức tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) là: \[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] b) Hình chiếu vuông góc của \( A \) trên trục Ox là điểm \( A' \): Hình chiếu vuông góc của một điểm trên trục Ox sẽ có tọa độ \( (x_1, 0, 0) \). c) Hình chiếu vuông góc của \( A \) trên mặt phẳng Oxy là điểm \( A'' \): Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng Oxy sẽ có tọa độ \( (x_1, y_1, 0) \). d) Điểm đối xứng với \( A \) qua mặt phẳng Oxy là điểm \( A''' \): Điểm đối xứng với một điểm qua mặt phẳng Oxy sẽ có tọa độ \( (x_1, y_1, -z_1) \). Với các thông tin trên, bạn có thể áp dụng cho các điểm cụ thể mà đề bài cho để tìm ra tọa độ của các điểm yêu cầu. Câu 7: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình bình hành trong không gian, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về vectơ và tọa độ điểm. Giả sử hình bình hành có các đỉnh là \( A, B, C, D \) với các tọa độ tương ứng là \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \), và \( D(x_4, y_4, z_4) \). a) Tọa độ điểm \( D \) Trong hình bình hành, ta có tính chất: \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) và \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Giả sử ta biết tọa độ của \( A, B, C \), ta có thể tìm tọa độ của \( D \) bằng cách sử dụng tính chất của vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow \overrightarrow{D} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} \] Tọa độ của \( D \) sẽ là: \[ D(x_4, y_4, z_4) = (x_3 - x_2 + x_1, y_3 - y_2 + y_1, z_3 - z_2 + z_1) \] b) Tọa độ vectơ \( \overrightarrow{AC} \) Vectơ \( \overrightarrow{AC} \) có tọa độ được tính bằng cách lấy tọa độ của \( C \) trừ đi tọa độ của \( A \): \[ \overrightarrow{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \] c) Tính \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \) Sử dụng tính chất của vectơ trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Điều này là do trong hình bình hành, tổng của hai vectơ cạnh kề bằng vectơ đường chéo. d) Nếu hình bình hành là hình chữ nhật, thì Một hình bình hành là hình chữ nhật khi và chỉ khi hai vectơ cạnh kề vuông góc với nhau. Tức là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \] Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0. Nếu tọa độ của \( A, B, D \) đã biết, ta có thể kiểm tra điều kiện này để xác định xem hình bình hành có phải là hình chữ nhật hay không. Trên đây là các bước lập luận và tính toán cho từng phần của bài toán. Câu 8: a) Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3x^2 - 3(m+1)x + 3m \] b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi phương trình \( x^3 - 3(m+1)x^2 + 9mx - 5 = 0 \) có 3 nghiệm thực phân biệt. Điều này xảy ra khi phương trình có hai nghiệm cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực trị trái dấu nhau. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3(m+1)x + 3m = 0 \] \[ x^2 - (m+1)x + m = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = m \] Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ y(1) = 1^3 - 3(m+1)(1)^2 + 9m(1) - 5 = 1 - 3(m+1) + 9m - 5 = 6m - 7 \] \[ y(m) = m^3 - 3(m+1)m^2 + 9m^2 - 5 = m m^3 - 3m^2 + 3m \] Điều kiện để phương trình có nghiệm thực là \( x \geq 0 \). Ta có: \[ \sqrt{x} = t \Rightarrow x = t^2 \] Phương trình trở thành: \[ t^3 - 3t^2 + 3t - 1 = 0 \] \[ (t-1)^3 = 0 \] \[ t = 1 \] Do đó: \[ x = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \). c) Đồ thị đối xứng qua điểm \( I \) khi \( I \) là tâm đối xứng của đồ thị. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3(m+1)x^2 + 9mx - 5 \) là điểm \( I \left( \frac{m+1}{2}, y\left(\frac{m+1}{2}\right) \right) \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = \frac{m+1}{2} \): \[ y\left(\frac{m+1}{2}\right) = \left(\frac{m+1}{2}\right)^3 - 3(m+1)\left(\frac{m+1}{2}\right)^2 + 9m\left(\frac{m+1}{2}\right) - 5 \] \[ = \frac{(m+1)^3}{8} - \frac{3(m+1)^3}{4} + \frac{9m(m+1)}{2} - 5 \] \[ = \frac{(m+1)^3}{8} - \frac{6(m+1)^3}{8} + \frac{36m(m+1)}{8} - 5 \] \[ = \frac{-5(m+1)^3 + 36m(m+1)}{8} - 5 \] \[ = \frac{-5(m+1)^3 + 36m(m+1) - 40}{8} \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị là \( I \left( \frac{m+1}{2}, \frac{-5(m+1)^3 + 36m(m+1) - 40}{8} \right) \). d) Phương trình tiếp tuyến của \( (C) \) tại điểm có hoành độ \( x_0 \) đi qua điểm \( M(x_1, y_1) \). Phương trình tiếp tuyến tại \( x_0 \) là: \[ y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) \] Thay \( x_0 \) vào phương trình tiếp tuyến: \[ y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) \] Điểm \( M(x_1, y_1) \) nằm trên tiếp tuyến, nên: \[ y_1 = y'(x_0)(x_1 - x_0) + y(x_0) \] Vậy phương trình tiếp tuyến của \( (C) \) tại điểm có hoành độ \( x_0 \) đi qua điểm \( M(x_1, y_1) \) là: \[ y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) \] Câu 9: Để giải quyết các khẳng định trên, trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm và vectơ liên quan. Giả sử hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \). a) Khẳng định: \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \). - Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \). - Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{BA} \) là \( (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2) \). Nhận xét: \( \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA} \) vì các tọa độ của hai vectơ này là đối nhau. Do đó, khẳng định a) là sai. b) Khẳng định: Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \). - Như đã tính ở trên, tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \). Khẳng định b) là đúng nếu tọa độ này được xác định chính xác theo công thức trên. c) Khẳng định: Điểm \( A \) là hình chiếu của điểm \( B \) trên mặt phẳng tọa độ \( Oxy \) thì \( z_1 = 0 \). - Khi điểm \( A \) là hình chiếu của điểm \( B \) trên mặt phẳng \( Oxy \), điều này có nghĩa là tọa độ \( z \) của điểm \( A \) phải bằng 0. Do đó, khẳng định c) là đúng. d) Khẳng định: Tọa độ điểm \( C \) để tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành là \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \). - Để tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành, cần có \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) và \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Giả sử \( D(x_3, y_3, z_3) \) và \( C(x_4, y_4, z_4) \). - Điều kiện \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) dẫn đến: \[ (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (x_4 - x_3, y_4 - y_3, z_4 - z_3) \] - Điều kiện \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \) dẫn đến: \[ (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (x_2 - x_4, y_2 - y_4, z_2 - z_4) \] Từ hai điều kiện trên, ta có thể suy ra tọa độ của \( C \) và \( D \) sao cho tứ giác là hình bình hành. Tuy nhiên, khẳng định rằng tọa độ của \( C \) là \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \) không đảm bảo điều kiện trên. Do đó, khẳng định d) là sai. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các đỉnh của hình lập phương trong hệ tọa độ không gian Oxyz. Giả sử hình lập phương có một đỉnh trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0) và các cạnh song song với các trục tọa độ. Khi đó, các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau: - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 1, 0) - D(0, 1, 0) - E(0, 0, 1) - F(1, 0, 1) - G(1, 1, 1) - H(0, 1, 1) Với các tọa độ này, chúng ta sẽ xét từng mệnh đề: a) Tọa độ đỉnh: Để xác định tọa độ của một đỉnh cụ thể, cần biết tên đỉnh đó. Nếu đỉnh đó là một trong các đỉnh đã liệt kê ở trên, thì tọa độ là chính xác. b) Tọa độ: Tương tự như trên, cần biết rõ đỉnh nào để xác định tọa độ. c) Tọa độ trọng tâm của tam giác: Giả sử tam giác cần xét có các đỉnh là A, B, C. Tọa độ trọng tâm của tam giác có các đỉnh \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\), \(C(x_3, y_3, z_3)\) được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Ví dụ, với tam giác ABC có tọa độ A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), tọa độ trọng tâm G là: \[ G\left(\frac{0 + 1 + 1}{3}, \frac{0 + 0 + 1}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0\right) \] d) Để xác định tính đúng sai của mệnh đề này, cần biết rõ nội dung của mệnh đề. Vì không có thông tin cụ thể về các mệnh đề a), b), d), tôi không thể xác định tính đúng sai của chúng. Nếu có thêm thông tin chi tiết, tôi có thể giúp bạn phân tích và xác định tính đúng sai của từng mệnh đề. Câu 11: Để giải quyết các mệnh đề đã cho, trước tiên chúng ta cần biết tọa độ của ba điểm trong không gian. Tuy nhiên, do đề bài không cung cấp tọa độ cụ thể của các điểm, tôi sẽ hướng dẫn cách kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các công thức và phương pháp chung. Giả sử ba điểm có tọa độ là \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), và \( C(x_3, y_3, z_3) \). a) Trọng tâm của tam giác \( ABC \): Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính bằng công thức: \[ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right) \] Để kiểm tra mệnh đề này, bạn cần thay tọa độ cụ thể của các điểm \( A \), \( B \), \( C \) vào công thức trên và so sánh với tọa độ \( (x, y, z) \) đã cho. b) Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \): Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) có tọa độ được tính bằng: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Kiểm tra mệnh đề này bằng cách tính toán tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và so sánh với tọa độ đã cho. c) Chu vi của tam giác \( ABC \): Chu vi của tam giác \( ABC \) được tính bằng tổng độ dài các cạnh: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] \[ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2 + (z_3 - z_2)^2} \] \[ CA = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2 + (z_1 - z_3)^2} \] Chu vi là: \[ P = AB + BC + CA \] So sánh giá trị này với giá trị chu vi đã cho để xác định tính đúng sai của mệnh đề. d) Hoành độ điểm trên trục để thuộc khoảng: Nếu mệnh đề này liên quan đến một điểm cụ thể trên trục \( x \) (hoành độ), bạn cần xác định điểm đó và kiểm tra xem hoành độ của nó có thuộc khoảng đã cho hay không. Vì không có thông tin cụ thể về tọa độ các điểm và các giá trị cần kiểm tra, bạn cần áp dụng các công thức trên với dữ liệu cụ thể để đưa ra kết luận chính xác cho từng mệnh đề. Câu 12: Để giải quyết các mệnh đề đã cho, ta cần thực hiện các bước tính toán và lập luận như sau: Cho trước: - Điểm \( A(1, 2, 3) \) - Điểm \( B(4, 5, 6) \) - Điểm \( C(7, 8, 9) \) a) Để tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành thì tọa độ của điểm \( D \) là \( (10, 11, 12) \). Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, trung điểm của \( AC \) phải trùng với trung điểm của \( BD \). - Trung điểm của \( AC \) là: \[ M\left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+8}{2}, \frac{3+9}{2}\right) = (4, 5, 6) \] - Giả sử \( D(x, y, z) \), trung điểm của \( BD \) là: \[ N\left(\frac{4+x}{2}, \frac{5+y}{2}, \frac{6+z}{2}\right) \] Để \( M = N \), ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{4+x}{2} = 4 \\ \frac{5+y}{2} = 5 \\ \frac{6+z}{2} = 6 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x = 4 \\ y = 5 \\ z = 6 \end{cases} \] Vậy tọa độ của \( D \) không phải là \( (10, 11, 12) \). Mệnh đề a) sai. b) Tọa độ trọng tâm của tam giác \( ABC \) là \( (4, 5, 6) \). Tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right) \] Thay tọa độ các điểm vào, ta có: \[ G\left(\frac{1+4+7}{3}, \frac{2+5+8}{3}, \frac{3+6+9}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{15}{3}, \frac{18}{3}\right) = (4, 5, 6) \] Vậy mệnh đề b) đúng. c) Chu vi của tam giác \( ABC \) là \( 12\sqrt{3} \). Để tính chu vi, ta cần tính độ dài các cạnh \( AB \), \( BC \), và \( CA \). - Độ dài \( AB \): \[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] - Độ dài \( BC \): \[ BC = \sqrt{(7-4)^2 + (8-5)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] - Độ dài \( CA \): \[ CA = \sqrt{(7-1)^2 + (8-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] Chu vi của tam giác \( ABC \) là: \[ AB + BC + CA = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \] Vậy mệnh đề c) đúng. d) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\). Tính các vector: - \(\overrightarrow{AB} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)\) - \(\overrightarrow{BC} = (7-4, 8-5, 9-6) = (3, 3, 3)\) Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\), nên mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) đúng. Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Giả thiết: - Hình chóp có đáy là hình chữ nhật \(ABCD\). - Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABCD\). - Cho biết \(SA = 3\) và \(AB = 4\), \(BC = 3\). Phân tích từng mệnh đề: a) Toạ độ của điểm \(S\) là \((0; 0; 3)\). - Giả sử \(A\) có tọa độ \((0; 0; 0)\), \(B\) có tọa độ \((4; 0; 0)\), \(D\) có tọa độ \((0; 3; 0)\), và \(C\) có tọa độ \((4; 3; 0)\). - Vì \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài \(3\), nên tọa độ của \(S\) là \((0; 0; 3)\). Kết luận: Mệnh đề a đúng. b) Diện tích của tam giác \(SAB\) bằng \(6\). - Tam giác \(SAB\) có \(SA = 3\), \(AB = 4\). - \(SB\) có thể tính bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(SAB\): \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. \] - Diện tích tam giác \(SAB\) là: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6. \] Kết luận: Mệnh đề b đúng. c) Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là \(A\). - Vì \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) chính là điểm \(A\). Kết luận: Mệnh đề c đúng. d) Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\), ta có \(\tan \alpha = \frac{3}{5}\). - Để tìm góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\), ta cần tính góc giữa \(SC\) và hình chiếu của nó trên mặt phẳng \((ABCD)\), tức là đoạn \(AC\). - Tọa độ \(C\) là \((4; 3; 0)\), nên \(SC = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34}\). - Hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là \(AC\), với \(AC = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\). - Ta có \(\tan \alpha = \frac{SA}{AC} = \frac{3}{5}\). Kết luận: Mệnh đề d đúng. Tóm lại, tất cả các mệnh đề a, b, c, d đều đúng. Câu 14: a) Cỡ mẫu là 22 Cỡ mẫu là tổng số phần tử của mẫu, tức là tổng số người được thống kê. Ta có: \[ 5 + 10 + 5 + 2 = 22 \] Vậy cỡ mẫu là 22. b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là 10 Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị chia dãy số liệu thành 4 phần bằng nhau, với 25% số liệu nằm bên dưới Q1 và 75% số liệu nằm bên trên Q1. Để tìm Q1, ta cần biết vị trí của nó trong dãy số liệu đã sắp xếp. Ta có bảng tần số như sau: - Thu nhập từ 5 đến 10 triệu đồng: 5 người - Thu nhập từ 10 đến 15 triệu đồng: 10 người - Thu nhập từ 15 đến 20 triệu đồng: 5 người - Thu nhập từ 20 đến 25 triệu đồng: 2 người Tổng số người là 22, nên vị trí của Q1 sẽ ở vị trí thứ \(\frac{22+1}{4} = 5.75\). Điều này có nghĩa là Q1 nằm trong khoảng từ 10 đến 15 triệu đồng. Do đó, tứ phát biểu rằng "Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 2 \)"