Giải bài toán bằng cách lập phương trình Hưởng ứng ngày Chủ nhật xanh với chủ đề “Hãy hành động để môi trường thêm Xanh, Sạch, Đẹp”, một trường THCS đã cử học sinh của hai lớp 9A và 9B cùng tham gia...

Câu 2: Để rút gọn biểu thức, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điều kiện xác định (nếu có). 2. Rút gọn từng phần của biểu thức. 3. Kết hợp các phần đã rút gọn để có biểu thức cuối cùng. Giả sử biểu thức cần rút gọn là: \[ P = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \] Bước 1: Xác định điều kiện xác định. - Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức. - Ta thấy tử số \( x^2 - 4 \) có thể viết dưới dạng hiệu của hai bình phương: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Bước 3: Kết hợp các phần đã rút gọn. - Thay tử số vào biểu thức ban đầu: \[ P = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \] - Rút gọn phân số: \[ P = x + 2 \quad \text{(với điều kiện } x \neq 2 \text{)} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ P = x + 2 \quad \text{(với điều kiện } x \neq 2 \text{)} \] Câu 3: a) Các tấm thẻ ghi số chẵn là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 Xác suất để rút được tấm thẻ ghi số chẵn là: P = $\frac{7}{15}$ b) Các tấm thẻ ghi số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15 Xác suất để rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 5 là: P = $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$ Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn. Giả sử \( O \) là tâm của đường tròn, \( AB \) là dây cố định không đi qua \( O \). Trên cung lớn \( AB \), lấy điểm \( C \) sao cho \( \angle ACB = 90^\circ \). Kẻ đường kính \( CD \) của đường tròn. Gọi \( H \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AB \), và \( M \) là trung điểm của \( AB \). Ta cần chứng minh rằng bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn. - Vì \( CD \) là đường kính, nên \( \angle CAD = \angle CBD = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, \( \angle ACB = 90^\circ \) và \( \angle CAD = 90^\circ \) chứng tỏ rằng \( A, C, D \) cùng thuộc một đường tròn có đường kính \( CD \). - Tương tự, \( \angle CBD = 90^\circ \) chứng tỏ rằng \( B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn có đường kính \( CD \). Vì vậy, bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn. b) Kẻ \( CH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \). Chứng minh \( \triangle AHC \) và \( \triangle BHC \) cân. - Vì \( CH \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AB \), nên \( \angle AHC = \angle BHC = 90^\circ \). - Do \( \angle ACB = 90^\circ \), \( \triangle ACB \) là tam giác vuông cân tại \( C \) (vì \( C \) nằm trên cung lớn \( AB \) và \( \angle ACB = 90^\circ \)). - Do đó, \( AC = BC \). Vì \( CH \) là đường cao và \( AC = BC \), nên \( \triangle AHC \) và \( \triangle BHC \) đều là tam giác vuông cân tại \( H \). c) Gọi \( K \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \). Chứng minh khi di chuyển \( C \) trên cung lớn \( AB \) thì tâm đường tròn ngoại tiếp \( \triangle AHK \) là một điểm cố định. - Khi \( C \) di chuyển trên cung lớn \( AB \), \( D \) cũng di chuyển trên đường tròn. - \( K \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \), do đó \( DK \perp AB \). - Tâm đường tròn ngoại tiếp \( \triangle AHK \) là giao điểm của các đường trung trực của \( AH \) và \( HK \). Vì \( H \) là trung điểm của \( AB \) và \( K \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \), nên khi \( C \) di chuyển, \( K \) di chuyển dọc theo một đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( H \). Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp \( \triangle AHK \) luôn nằm trên đường trung trực của \( AB \), và vì \( H \) là trung điểm của \( AB \), nên tâm này là một điểm cố định. Vậy, khi \( C \) di chuyển trên cung lớn \( AB \), tâm đường tròn ngoại tiếp \( \triangle AHK \) là một điểm cố định. Câu 5: Để quyết định bạn Hằng nên mua bắp rang bơ ở quầy nào để có lợi hơn, chúng ta cần so sánh lượng bắp rang bơ mà mỗi hộp chứa được với giá tiền của chúng. Giả sử: - Quầy A bán bắp rang bơ trong hộp hình nón. - Quầy B bán bắp rang bơ trong hộp hình trụ. Bước 1: Tính thể tích của mỗi loại hộp Hộp hình nón (Quầy A): Công thức tính thể tích của hình nón là: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Giả sử bán kính đáy của hình nón là \( r_1 \) và chiều cao là \( h_1 \). Hộp hình trụ (Quầy B): Công thức tính thể tích của hình trụ là: \[ V = \pi r^2 h \] Giả sử bán kính đáy của hình trụ là \( r_2 \) và chiều cao là \( h_2 \). Bước 2: So sánh thể tích và giá tiền Giả sử giá tiền của hộp hình nón là \( P_A \) và giá tiền của hộp hình trụ là \( P_B \). Để so sánh, chúng ta cần tính thể tích trên mỗi đơn vị tiền cho cả hai loại hộp: - Thể tích trên mỗi đơn vị tiền của hộp hình nón: \( \frac{V_A}{P_A} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{P_A} \) - Thể tích trên mỗi đơn vị tiền của hộp hình trụ: \( \frac{V_B}{P_B} = \frac{\pi r_2^2 h_2}{P_B} \) Bước 3: Kết luận So sánh hai giá trị \( \frac{V_A}{P_A} \) và \( \frac{V_B}{P_B} \): - Nếu \( \frac{V_A}{P_A} > \frac{V_B}{P_B} \), thì bạn Hằng nên mua bắp rang bơ ở quầy A. - Nếu \( \frac{V_A}{P_A} < \frac{V_B}{P_B} \), thì bạn Hằng nên mua bắp rang bơ ở quầy B. Lưu ý Để có kết quả chính xác, cần biết cụ thể các thông số \( r_1, h_1, r_2, h_2, P_A, P_B \). Nếu có thông tin cụ thể, bạn có thể thay vào công thức trên để tính toán và đưa ra quyết định chính xác. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã được cung cấp và áp dụng chúng vào từng bước giải quyết vấn đề. Bài toán: Cho ba số thực dương \(a\), \(b\), và \(c\) thỏa mãn đẳng thức: \[ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 1. \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ P = ab + bc + ca. \] Giải: 1. Điều kiện xác định: - Vì \(a\), \(b\), và \(c\) là các số thực dương, nên \(a > 0\), \(b > 0\), và \(c > 0\). 2. Biến đổi biểu thức: - Ta có: \[ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 1. \] - Đặt \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{b}\), và \(z = \sqrt{c}\). Khi đó: \[ x + y + z = 1, \] và: \[ a = x^2, \quad b = y^2, \quad c = z^2. \] - Biểu thức \(P\) trở thành: \[ P = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2. \] 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp \((x, y)\), \((y, z)\), và \((z, x)\): \[ (x^2 + y^2)(1 + 1) \geq (x + y)^2, \] \[ (y^2 + z^2)(1 + 1) \geq (y + z)^2, \] \[ (z^2 + x^2)(1 + 1) \geq (z + x)^2. \] - Từ đó suy ra: \[ x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2}, \] \[ y^2 + z^2 \geq \frac{(y + z)^2}{2}, \] \[ z^2 + x^2 \geq \frac{(z + x)^2}{2}. \] 4. Tổng hợp các bất đẳng thức: - Cộng các bất đẳng thức trên lại: \[ (x^2 + y^2) + (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) \geq \frac{(x + y)^2}{2} + \frac{(y + z)^2}{2} + \frac{(z + x)^2}{2}. \] - Ta có: \[ 2(x^2 + y^2 + z^2) \geq \frac{(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2}{2}. \] - Vì \(x + y + z = 1\), nên: \[ (x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 = 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx). \] - Do đó: \[ 2(x^2 + y^2 + z^2) \geq \frac{2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx)}{2}. \] - Rút gọn: \[ 2(x^2 + y^2 + z^2) \geq x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx. \] - Suy ra: \[ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx. \] 5. Tìm giá trị lớn nhất của \(P\): - Ta có: \[ P = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2. \] - Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 \leq \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{3}. \] - Vì \(x + y + z = 1\), nên: \[ x^2 + y^2 + z^2 \leq \frac{1}{3}. \] - Do đó: \[ P \leq \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{3} = \frac{1}{27}. \] 6. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\frac{1}{27}\), đạt được khi \(x = y = z = \frac{1}{3}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\boxed{\frac{1}{27}}\).