Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán - Quảng Ninh năm 2023 - 2024 (Chính thức)

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán - Quảng Ninh năm 2023 - 2024 (Chính thức)

Bài 1: Cho biểu thức $$P=(\frac{5+4\sqrt{x}}{2x+5\sqrt{x}-12}-\frac{2}{2\sqrt{x}+3}+\frac{3}{\sqrt{x}+4}):(\sqrt{x}+\frac{5-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4})$$ (a) Rút gọn biểu thức P (b) Tính GTLN của biểu thức P. Bài 2:   1. Giải phương trình   $x^2+x-6=3(x-2)\sqrt{x+1}.$ 2. Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{c}{x}^2-2x-xy+y+1=0(1)\hfill \\ x^2+3x-\sqrt{y^2+5x-1}-2=1\hfill \end{array}$$ Bài 3:   3: (a) Cho z,y là các số nguyên dương thoả mãn   $x^2-y$   và   $x^2+y$   đều là các số chính phương. Chứng minh y chẵn. (b) Tìm tất cả các số nguyên dương a,btthoả mãn $a^3-2(a+b{)}^2=b^3+19$   (4) Bài 4: Cho tam giác   $ABC(AB<AC)$   nội tiếp (O). Hai đường cao BD,CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Tia phân giác BAC cát BD và (O) lần lượt tại M   giác ABC cắt nhau tại H. Tia phân giác   $\widehat{BAC}$   cát BD và (O) lần lượt tại M và   $I(I\ne A).$   Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại   $K(K\ne B).$   Hai đường thẳng AC và IK cắt nhau tại Q, hai đường thẳng QH và AB cắt nhau tại P. Chứng minh: (a) AMQK nội tiếp. $(b)triangleAPQ$   cân tại A. $$(c)\frac{1}{BC}+\frac{1}{DE}=\frac{1}{MQ}.$$ Bài 5: Trên bảng gồm 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng   $a^2+b^2$   trong đó a,b nguyên. Mỗi lần ta thực hiện 1 phép biến đổi sau: Xoá hai số tuỳ ý rồi viết thêm một số bằng tích của hai số vừa xoá. Hỏi sau một số lần biến đổi trên bảng có só bằng   ${26.3}^{2023}$   được không ? Giải thích tại sao ?