Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán học - Trường THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2022-2023 - Đề 2

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán học - Trường THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2022-2023 - Đề 2

Câu 1 (2,0 điểm).a) Cho hương trình   x^{2}-2(m-2)x+2m-5=0.   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phânbiệt   x_{1},x_{2}   thỏa mãn   \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3.b) Chứng minh rằng   P=\sqrt{2+\frac{10\sqrt{3}}{9}}+\sqrt{2-\frac{10\sqrt{3}}{9}}   là số nguyên.Câu 2 (2,0 điểm).a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình   x^{2}-2x y+8x+4\left(y-4\right)^{2}=0.b) Chứng minh rằng nếu m,n là hai số tự nhiên thỏa mãn   2022m^{2}+m=2023n^{2}+n   thì2022(m+n)+1   là số chính phương.Câu 3 (2,0 điểm).a) Giải pương trình   \sqrt{4x^{2}-3x+15}-3x+1=0.b) Cho hai số thực   phân biệt. Quanh đường tròn viết   n\,\,   số thực đôi một khác nhau(n\geq3)   sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu   và các số được viết nếuhai số đầu tiên được viết lần lượt là a vàCâu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao   có đường cao   A A_{1},   đường trungtuyến BB, và đường phân giác trong CC, Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AA   A A_{1},B B_{1},C C_{1}với (O). Biết A,B,C, là tam giác đều.   A_{1}B_{1}C_{1}   là tam giác đều.a) CCứng miinhrằng tam giác ABC đều.b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điic của đoạn thẳng CD, 1 là giaođiểm của AN và FM. Tính   \widehat{A I F}.c) Tia Cl cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng   Chứng minh rằng   I   là trung điểm của CK.Tính tỉ số   \frac{J A}{J F}.Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b làccá số thực dương thỏa mãn   a^{2}b+a b^{2}-2(a+b+a b)=0.   Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức   P=\frac{2(a^{3}b+a b^{3})+(1+2a b)^{2}-3}{2a b}.