1. Đề thi vào 10 môn Toán Thái Bình năm 2021

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

Cho biểu thức $$ với $$

a) Chứng minh: $$

b) Tính giá trị của biểu thức $$ khi $$

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$

Câu 2 (2 điểm):

a) Giải phương trình: $$

b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $$ Nếu giảm chiều dài đi $$ và tăng chiều rộng lên $$ thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Câu 3 (2 điểm):

Cho parabol $$ và đường thẳng $$ với $$ là tham số.

a) Tìm $$ để đường thẳng $$ và parabol $$ cùng đi qua điểm có hoành độ $$

b) Chứng minh đường thẳng $$ luôn cắt parabol $$ tại hai điểm phân biệt với mọi $$

Gọi $$ là các hoành độ giao điểm, tìm $$ để $$

Câu 4 (3,5 điểm):

Cho $$ nội tiếp đường tròn tâm $$ đường kính $$ cố định, điểm $$ bất kì thuộc cung nhỏ $$$$ Tia $$ cắt tia $$ tại điểm $$ Điểm $$ là giao điểm của $$ và $$ Kẻ $$ vuông góc với $$ tại điểm $$ đường thẳng $$ cắt đường tròn $$ tại điểm thứ hai là $$ Gọi $$ là hình chiếu vuông góc của điểm $$ trên $$ là giao điểm của $$ và $$ Chứng minh:

a) Tứ giác $$ nội tiếp đường tròn.

b) $$

c) Ba điểm $$ thẳng hàng.

d) Đường tròn ngoại tiếp $$ luôn đi qua một điểm cố định khác $$ khi điểm $$ di động trên cung nhỏ $$

Câu 5 (0,5 điểm):

Giải phương trình $$.

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Xác định mẫu thức chung, thực hiện quy đồng sau rút gọn được biểu thức $$

b) Vận dụng hẳng đẳng thức $$, xác định được $$

Thay giá trị của $$ vào biểu thức $$, tính được giá trị của biểu thức $$.

c) Từ điều kiện $$, nhận xét được mẫu thức của $$ từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $$

Cách giải:

a) Điều kiện: $$

Vậy với $$ thì $$

b) Điều kiện: $$

Ta có: $$ thỏa mãn điều kiện.

Thay $$ vào biểu thức $$ ta được: $$

Vậy với $$ thì $$

c) Điều kiện: $$

Ta có: $$

Với $$ ta có: $$

Dấu “=” xảy ra $$

Vậy với $$ thì giá trị lớn nhất của $$ là $$

Câu 2

Phương pháp:

a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm nghiệm của phương trình.

b) Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $$

+ Chu vi của mảnh vườn là $$$$ Nửa chu vi của mảnh vườn, từ đó lập được phương trình (1)

+ Nếu giảm chiều dài đi $$ và tăng chiều rộng lên $$ thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta lập phương trình (2)

+ Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình. Giải hệ phương trình, tìm nghiệm và kết luận.

Cách giải:

a) Phương trình $$ có: $$

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ và $$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $$

b) Nửa chu vi của mảnh vườn đã cho là: $$

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $$

Nếu giảm chiều dài đi $$ và tăng chiều rộng lên $$ thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình: $$$$

Từ $$ và $$ ta có hệ phương trình: $$$$

Vậy chiều dài mảnh vườn là $$ và chiều rộng mảnh vườn là $$

Câu 3:

Phương pháp:

a) + Gọi $$ là điểm mà đường thẳng $$ và parabol $$ đều đi qua.

+ $$$$

+ Thay $$ và tung độ $$ vừa tìm được vào đường thẳng $$$$ tìm được $$ và kết luận.

b) + Xét phương trình hoành độ giao điểm của $$ và $$: phương trình (*) (là một phương trình bậc hai một ẩn $$)

+ Đường thẳng $$ luôn cắt parabol $$ tại hai điểm phân biệt với mọi $$ có hai nghiệm phân biệt $$

+ Gọi $$ là các hoành độ giao điểm của $$ và $$ $$ $$ là các nghiệm của phương trình $$

$$ (1)

+ Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được $$ theo tham số $$ (2)

+ Thay (1) và (2) vào hệ thức của đề bài, tìm được tham số $$.

Cách giải:

a) Gọi $$ là điểm mà đường thẳng $$ và parabol $$ đều đi qua.

Khi đó ta có: $$ $$$$

Lại có: $$ $$

Vậy $$ thỏa mãn bài toán.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $$ và $$ là: $$

Phương trình $$ có: $$

$$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $$

$$ luôn cắt $$ tại hai điểm phân biệt với mọi $$

Gọi $$ là các hoành độ giao điểm của $$ và $$ $$ $$ là các nghiệm của phương trình $$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $$

Theo đề bài ta có: $$

Vậy $$ thỏa mãn bài toán.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$ là tứ giác nội tiếp: chứng minh $$$$ là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: $$; $$

c) Chứng minh: $$ và $$$$ thằng hàng.

d) Chứng minh: $$

$$ là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$$ Đường tròn ngoại tiếp $$ đi qua điểm $$ cố định.

Cách giải:

a) Ta có: $$$$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $$$$

Xét tứ giác $$ ta có: $$

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Xét tứ giác $$ ta có: $$

$$ là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Mà $$ (hai góc cùng phụ $$)

Xét $$ và $$ có:

c) Ta có: $$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm ở chính giữa của cung căng dây đó).

$$ (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).

Hay $$

$$ là tức giác nội tiếp. (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

$$. Mà $$

Xét $$ có $$

$$ là trực tâm $$ $$

Từ $$ và $$ $$ thằng hàng. (đpcm)

d) Ta có: $$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

$$ cân tại $$ $$ $$

Lại có: $$$$

Vì $$$$

Từ $$ và $$ $$

$$ là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$$ Đường tròn ngoại tiếp $$ đi qua điểm $$ cố định. (đpcm)

Câu 5:

Phương pháp:

+ Xác định điều kiện của phương trình, $$ có nghĩa $$

+ Đặt $$, biến đổi phương trình ban đầu theo $$

+ Giải phương trình bậc hai ẩn $$ với tham số $$, tìm được mối liên hệ của $$

+ Với $$ ta tìm được nghiệm $$, đối chiếu và kết luận.

Cách giải:

ĐKXĐ: $$ (luôn đúng).

Đặt $$ ta có $$

$$.

Khi đó phương trình trở thành:

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn $$ với tham số $$ ta có

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm $$

+) TH1: $$ $$

Ta có $$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $$.

+) TH2: $$.

Khi đó ta có $$ $$

Ta có $$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $$.