2. Đề thi vào 10 môn Toán Thái Bình năm 2020

Đề bài

Câu 1: 

Cho $$ và $$ (với $$).

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $$.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm $$ để giá trị của A và B trái dấu.

Câu 2: 

Cho hệ phương trình $$  với $$ là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi $$

b) Tìm $$ để hệ phương trình có nghiệm $$ thỏa mãn $$

Câu 3:  

Cho parabol $$ và đường thẳng $$ ($$ là tham số).

a) Tìm $$ để đường thẳng $$ đi qua điểm $$

b) Tìm $$ để $$ cắt $$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $$ thỏa mãn $$

Câu 4: 

Qua điểm M nằm bên ngoài đường tròn $$, kẻ hai tiếp tuyến $$ ($$ là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến $$ không đi qua tâm $$ ($$ nằm giữa $$ và $$).

a) Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp và $$.

b) Chứng minh $$.

c) Gọi $$ là trung điểm của dây cung $$ và $$ là giao điểm của hai đường thẳng $$ và $$. Tính độ dài đoan thẳng $$ theo $$ khi $$.

d) Qua tâm $$ kẻ đường thẳng vuông góc với $$ cắt đường thẳng $$ lần lượt tại $$ và $$. Tìm vị trí điểm $$ để diện tích tam giác $$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$ 

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho $$ và $$ (với $$).

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $$.

Thay $$ vào biểu thức A ta có:

$$.

Vậy khi $$ thì $$.

b) Rút gọn biểu thức B.

Với $$ thì:

Vậy với $$ thì $$.

c) Tìm $$ để giá trị của A và B trái dấu.

Để giá trị của A và B trái dấu thì $$.

Vì $$ nên $$.

Kết hợp điều kiện $$ ta có $$.

Vậy để giá trị của A và B trái dấu thì $$.

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

Cho hệ phương trình $$  với $$ là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi $$

Với $$ ta có hệ phương trình:

Vậy với $$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $$

b) Tìm $$ để hệ phương trình có nghiệm $$ thỏa mãn $$

Ta có: $$

Từ phương trình $$ ta có: $$

Thế vào phương trình $$ ta có:

$$ Với mọi $$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $$

Theo đề bài ta có: $$

Điều kiện: $$ $$

Vậy $$ và $$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3 (2 điểm)

Cách giải:

Cho parabol $$ và đường thẳng $$ ($$ là tham số).

a) Tìm $$ để đường thẳng $$ đi qua điểm $$

Đường thẳng $$ đi qua điểm $$

Phương trình có $$

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$

Vậy $$ hoặc $$ thỏa mãn bài toán.

b) Tìm $$ để $$ cắt $$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $$ thỏa mãn $$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

Đường thẳng $$ cắt $$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là $$

$$ có hai nghiệm phân biệt $$

$$ Với mọi $$ thì $$ luôn cắt $$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $$

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình $$ ta có: $$

Theo đề bài ta có:

Phương trình có $$

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$

Vậy $$ và $$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

Qua điểm M nằm bên ngoài đường tròn $$, kẻ hai tiếp tuyến $$ ($$ là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến $$ không đi qua tâm $$ ($$ nằm giữa $$ và $$).

a) Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp và $$.

Vì $$ là các tiếp tuyến của $$ nên $$.

Xét tứ giác $$ có: $$.

$$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$).

Vì $$ $$ $$ thuộc trung trực của $$.

     $$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $$ thuộc trung trực của $$.

$$ là trung trực của đoạn thẳng $$.

Vậy $$ (đpcm).

b) Chứng minh $$.

Xét $$ và $$ có:

$$ chung;

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$).

$$ (hai cạnh tương ứng) $$.

c) Gọi $$ là trung điểm của dây cung $$ và $$ là giao điểm của hai đường thẳng $$ và $$. Tính độ dài đoan thẳng $$ theo $$ khi $$.

Gọi $$, theo ý a) ta có $$ tại $$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $$, đường cao $$ ta có: $$.

Mà $$ nên $$.

Xét $$ và $$ có: $$ chung; $$ (cmt).

$$ $$ (hai góc tương ứng).

Vì $$ là trung điểm của $$ nên $$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

$$ vuông tại $$ $$.

Lại có: $$ (do tam giác $$ vuông tại $$).

Mà $$ nên $$.

Từ (1) và (2) $$ $$.

$$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các goác bằng nhau).

$$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

$$ vuông tại $$, có đường cao $$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $$ ta có:

$$.

Vậy khi $$ thì $$.

d) Qua tâm $$ kẻ đường thẳng vuông góc với $$ cắt đường thẳng $$ lần lượt tại $$ và $$. Tìm vị trí điểm $$ để diện tích tam giác $$ đạt giá trị nhỏ nhất.

 Đặt $$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $$, đường cao $$ ta có:

Xét tam giác $$ có đường cao $$ đồng thời là đường phân giác (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên $$ là tam giác cân tại $$, do đó đường cao $$ cũng đồng thời là đường trung tuyến.

$$.

Khi đó $$.

Ta có: $$.

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương $$ và $$ ta có:

$$.

Khi đó $$.

Dấu “=” xảy ra $$ $$.

Vậy diện tích tam giác $$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $$ khi và chỉ khi $$ cách tâm $$ một khoảng bằng $$.

Câu 5 (0,5 điểm)

Cách giải:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$

Điều kiện: $$

Vì $$ $$

Dấu “=” xảy ra $$

Vậy $$ khi $$ và $$