3. Đề thi vào 10 môn Toán Đắk Lắk năm 2019

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

1) Rút gọn biểu thức: $$

2) Giải phương trình: $$

3) Xác định hệ số $$ của hàm số $$ biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm $$

Câu 2 (2 điểm):  Cho phương trình $$   ($$ là tham số)

1) Với $$ chứng minh rằng phương trình $$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $$

2) Tìm $$ để phương trình $$ luôn có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$ và $$

Câu 3 (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ $$ cho đường thẳng $$ có phương trình $$ Gọi $$ lần lượt là giao điểm của $$ với trục hoành và trục tung; $$ là trung điểm của đoạn thẳng $$ Tính độ dài đoạn thẳng $$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet).

2) Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 12 cm,  bán kính đáy là $$cm, lượng nước trong cốc cao 8 cm. Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1 cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên. Hỏi sau khi thả 6 viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng côc bao nhiêu xentimet? (giả sử độ dày của cốc là không đáng kể).

Câu 4 (3 điểm):  Cho đường tròn $$ có hai đường kính $$ và $$ vuông góc với nhau. Điểm $$ thuộc cung nhỏ $$ sao cho $$ Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$ Tiếp tuyến tại $$ của đường tròn $$ cắt $$ kéo dài lần lượt tại $$ và $$ Đường thẳng qua $$ và vuông góc với $$ cắt $$ tại $$  

1) Chứng minh tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $$ là tam giác đều.

3) Chứng minh $$

4) Gọi $$ là trực tâm $$ Hỏi ba điểm $$ có thẳng hàng không? Vì sao?

Câu 5 (1 điểm): Cho ba số thực dương $$ thỏa mãn $$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

1) Sử dụng công thức: $$

2) Đưa phương trình về dạng phương trình tích để giải phương trình.

3) Thay tọa độ điểm $$ vào công thức hàm số $$ để tìm $$

Cách giải:

1) Rút gọn biểu thức: $$

Vậy $$

2) Giải phương trình: $$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $$ 

3) Xác định hệ số $$ của hàm số $$ biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm $$

Đồ thị hàm số $$ đi qua điểm $$ nên thay tọa độ điểm $$ vào công thức hàm số ta được:

Vậy $$

Câu 2

Phương pháp:

1) Thay $$ vào phương trình $$ chứng minh $$ với mọi $$

2) Tìm điều kiện của $$ để phương trình $$ có nghiệm: $$

+) Áp dụng định lý Vi-et và các biểu thức bài cho để tìm $$ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Cho phương trình $$   ($$ là tham số)

1) Với $$ chứng minh rằng phương trình $$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $$

Với $$ ta có phương trình $$

Phương trình có $$

Vậy với $$ thì phương trình $$ luôn có nghiệm với mọi $$

2) Tìm $$ để phương trình $$ luôn có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$ và $$

Ta có: $$

Phương trình $$ có hai nghiệm$$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $$

Theo đề bài ta có: $$

Thế (3) và (4) vào (5) ta được:

Từ (2) và (4) ta có: $$

Thế $$ vào $$ ta được: $$

Thay $$ vào điều kiện $$ ta có:

$$ thỏa mãn.

Vậy $$ là các giá trị cần tìm.

Câu 3

Phương pháp:

1) Tìm tọa độ các điểm $$ Sử dụng hệ thức lượng trong $$ vuông tại $$ có đường cao $$ để làm bài toán.

2) Thể tích của khối trụ có chiều cao $$ và bán kính đáy $$ là: $$

Thể tích khối cầu bán kính $$ là: $$

Cách giải:

1) Cho $$

Ta có: $$ 

Vì tam giác $$ vuông cân tại $$ $$  mà $$ là đường trung tuyến nên $$ cũng là đường cao.

2) Thể tích nước dâng lên = thể tích 6 viên bi được thả vào cốc.

Thể tích nước có trong cốc ban đầu là: $$

Ta có thể tích của 6 viên bi được thả vào cốc là: $$

Thể tích sau khi được thả thêm 6 viên bi là: $$

$$ Chiều cao mực nước trong cốc lúc này là: $$

Vậy sau khi thả 6 viên bi vào cốc thì mực nước cách cốc là $$

Câu 4

Phương pháp:

1)  Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết của tứ giác.

2) Chứng minh tam giác có hai góc có số đo bằng $$ là tam giác đều.

3) Chứng minh tứ giác $$ là hình bình hành.

Cách giải:

1) Chứng minh tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác $$ ta có:

$$ ($$ là tiếp tuyến của $$)

Mà hai đỉnh $$ là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh $$

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)   (đpcm).

2) Chứng minh $$ là tam giác đều.

Xét $$ ta có:

$$ là góc ở tâm chắn cung $$

$$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $$

$$ (tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung).

Hay $$

Xét $$ vuông tại $$ ta có:

Xét $$ ta có:$$

$$ là tam giác đều. (định nghĩa)  (đpcm).

3) Chứng minh $$

 Ta có: $$ là tam giác đều (cmt)

$$ (hai góc đối đỉnh)

Ta có:  $$

Vì $$ là tứ giác nội tiếp (cmt) $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Ta có: $$ là hình thang.

Mà $$

Lại có hai góc này là hai góc đối nhau

$$ là hình bình hành.

4) Gọi $$ là trực tâm $$ Hỏi ba điểm $$ có thẳng hàng không? Vì sao?

Gọi $$ là chân đường cao kẻ từ $$ đến $$ thì $$.

Giả sử phản chứng $$ thẳng hàng thì $$ hay $$.

Có $$ và $$ nên $$ là tam giác cân có một góc bằng $$ nên là tam giác đều $$.

Lại có $$ và $$ nên tam giác $$ cân tại $$ hay $$.

Từ $$ và $$ suy ra $$.

Xét tam giác $$ có $$ (giả thiết) và $$ nên $$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

$$ cân tại $$. Mà $$ nên tam giác $$ đều.

$$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến $$ (vô lý vì $$).

Vậy ba điểm $$ không thẳng hàng.

Câu 5

Phương pháp:

- Biến đổi các mẫu về dạng tích.

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $$.

Cách giải:

Do $$ nên $$.  Khi đó,

Suy ra:

 Hay $$ $$

Dấu “=” xảy ra khi $$  và $$.