1. Đề thi vào 10 môn Toán Đắk Lắk năm 2021

Đề bài

Câu 1 (1,5 điểm)

1) Giải phương trình: $$

2) Cho hàm số $$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đồng biến trên $$.

3) Cho $$ và $$. Tính giá trị của biểu thức $$

Câu 2 (2,0 điểm):

Cho biểu thức: $$ với $$

1) Rút gọn biểu thức $$

2) Tìm tất cả các giá trị của $$ để $$

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ $$, viết phương trình đường thẳng $$ đi qua điểm $$song song với đường thẳng $$.

2) Trong mặt phẳng tọa độ $$, cho Parabol $$ và đường thẳng $$. Gọi $$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $$ và Parabol $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$.

Câu 4 (3,5 điểm):

Trên nửa đường tròn tâm $$đường kính $$ với $$, lấy điểm $$ ($$ khác $$ và $$) từ $$ kẻ $$ vuông góc với $$$$. Gọi $$ là điểm bất kì trên đoạn $$($$ khác $$), đường thẳng $$ cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai $$.

1)  Chứng minh $$ nội tiếp.

2) Chứng minh $$

3) Chứng minh $$

4) Khi điểm $$ di động trên nửa đường tròn $$ khác $$ và điểm chính giữa cung $$, xác định vị trí điểm $$ sao cho chu vi tam giác $$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho $$. Chứng minh $$.

Lời giải chi tiết

Phương pháp:

1) Tính $$ (hoặc $$), sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: $$ (hoặc $$), tính được nghiệm của phương trình, kết luận.

2) Hàm số $$ đồng biến trên $$

3) Thay $$ và $$ vào $$, sau đó tính toán.

Cách giải:

1) Xét phương trình $$

Ta có: $$

$$ Phương trình có hai nghiệm: $$; $$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $$.

2) Hàm số $$ đồng biến trên $$ khi và chỉ khi: $$

Vậy với $$ thì hàm số đồng biến trên $$.

3) Thay $$ và  $$ vào $$ ta được:

Vậy $$  khi $$ và $$

Phương pháp:

1) Xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

2) Vì $$

Rút gọn $$

$$ khi $$ và $$  cùng âm hoặc dương.

Cách giải:

1) ĐKXĐ: $$

Vậy với $$ ta có $$

b) Điều kiện: $$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được $$ thì $$

Vậy $$ thì $$

Phương pháp:

1) Viết phương trình đường thẳng $$ biết $$ đi qua điểm $$ và song song với $$ ($$  đã biết)

Gọi phương trình đường thẳng$$ là $$

Vì $$

$$ đi qua điểm $$, từ đó tìm được $$, đối chiếu điều kiện ở trên

Kết luận phương trình đường thẳng cần tìm.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa $$ và $$  $$

Để $$ cắt $$ tại hai điểm phân biệt $$ có hai nghiệm phân biệt $$.

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được $$ theo $$

Thay vào $$, vận dụng hằng đẳng thức tìm được giá trị nhỏ nhất của $$

Cách giải:

1) Gọi phương trình đường thẳng$$ là $$

Vì $$ song song với đường thẳng $$ nên $$.

Vì $$ đi qua điểm $$ nên ta có: $$.

Thay $$ vào ta được: $$.

Vậy đường thẳng $$ cần tìm có phương trình là $$.

2) Hoành độ giao điểm của $$ và $$ là nghiệm của phương trình:

Phương trình (*) có:

$$ Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $$ với mọi $$.

$$ $$ luôn cắt $$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $$ với mọi $$.

Áp dụng định lí Vi-et ta có: $$

Khi đó ta có:

$$ (Vì $$)

Vậy $$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$.

Phương pháp:

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$ là tứ giác nội tiếp.

2) Ta sẽ chứng minh:

3) Ta sẽ chứng minh:

Ta có: $$

4) Tính chu vi của tam giác $$

Chu vi tam giác $$  đạt giá trị lớn nhất $$ $$ đạt giá trị lớn nhất $$ $$ đạt giá trị lớn nhất

Áp dụng định lý cô-si cho $$ tìm được giá trị lớn nhất.

Cách giải:

1) Trong $$ ta có $$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác $$ có: $$.

Suy ra tứ giác $$ nội tiếp (dhnb).

2) Ta có:

$$ (cùng phụ với $$).

$$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

$$.

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có: $$

Suy ra  $$.

3) Xét tam giác $$ và tam giác $$ có: $$

.

Suy ra $$$$

Ta có:

4) Chu vi tam giác $$ là: $$

Chu vi tam giác $$  đạt giá trị lớn nhất $$ $$ đạt giá trị lớn nhất $$ $$ đạt giá trị lớn nhất

Ta có: $$.

Áp dụng định lý cô-si cho $$ ta có:

Dấu “=” xảy ra khi $$ hay $$ vuông cân tại $$ $$.

Vậy chu vi tam giác $$ đạt giá trị lớn nhất khi góc $$ bằng $$.

Phương pháp:

Xuất phát từ bất đẳng thức: $$.

Cách giải:

Ta có: $$

$$(Do $$)

$$.

Dấu “=” xảy ra khi $$.