3. Đề thi vào 10 môn Toán Hải Phòng năm 2019

Đề bài

$$   $$ (với $$).

a) Rút gọn các biểu thức $$.

b) Tìm các giá trị của $$ sao cho giá trị biểu thức $$bằng giá trị biểu thức $$.

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Tìm các giá trị của tham số $$ để đồ thị hai hàm số $$ và $$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

b) Giải hệ phương trình $$

Bài 3: (2,5 điểm)

1. Cho phương trình $$ ($$ là ẩn số, $$ là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi $$

b) Xác định các giá trị của $$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $$  thỏa mãn điều kiện $$.

2. Bài toán có nội dung thực tế

Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm $$, chiều dài giảm đi $$ thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm $$; và nếu chiều rộng giảm đi $$, chiều dài tăng thêm $$ thì diện tích thửa ruộng giảm đi $$. Tính diện tích thửa ruộng trên.

Bài 4: (3,5 điểm)

1. Từ điểm $$ nằm bên ngoài đường tròn $$ vẽ hai tiếp tuyến $$ ($$là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến $$ của đường tròn $$sao cho điểm $$ nằm giữa hai điểm $$ tia $$nằm giữa hai tia $$và $$. Từ điểm $$ kẻ $$ tại $$

a) Chứng minh năm điểm $$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh $$ là tia phân giác của $$ và $$.

c) Gọi $$ và $$ lần lượt là giao điểm của $$ với $$ và $$. Qua điểm $$ vẽ đường thẳng song song với $$ cắt $$ và $$ lần lượt tại $$ và $$. Chứng minh $$ là trung điểm của $$

2. Một hình trụ có diện tích xung quanh $$ và chiều cao là $$ Tính thể tích của hình trụ đó.

Bài 5: (1,0 điểm)

a) Cho $$ là ba số dương. Chúng minh $$

b) Cho $$ là ba số dương thỏa mãn $$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Bài 1

Phương pháp:

a) Rút gọn biểu thức

b) Đưa bài toán về tìm $$ để $$(chú ý đối chiếu điều kiện xác định).

Cách giải:

Cho hai biểu thức:

 $$ $$ (với $$).

a) Rút gọn các biểu thức $$.

Điều kiện: $$

b) Tìm các giá trị của $$ sao cho giá trị biểu thức $$ bằng giá trị biểu thức $$.

Điều kiện: $$

Để $$ thì  $$

Vậy $$ thì $$.

Bài 2

Phương pháp:

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm. Để 2 đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất $$

b) Đặt $$ và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ra $$. Từ đó tìm được $$.

Cách giải:

a) Tìm các giá trị của tham số $$để đồ thị hai hàm số $$ và $$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số ta có:

Để 2 đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất $$

Vậy $$

b) Giải hệ phương trình $$

Điều kiện: $$

Đặt $$

Hệ phương trình $$

Với $$ thì $$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $$

Bài 3

Phương pháp:

1a) Thay $$ vào phương trình, giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.

1b) Tìm điều kiện $$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt rồi biến đổi điều kiện bài toán về tổng và tích 2 nghiệm và áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm $$  

Đối chiếu với điều kiện của $$ rồi kết luận.

2) Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $$

        chiều dài hình chữ nhật là $$

Dựa vào các giả thiết của bài toán để lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình rồi đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận.

Cách giải:      

1. Cho phương trình $$ ($$ là ẩn số, $$ là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi $$

Với $$ ta có phương trình  $$

Vậy với $$ thì phương trình có tập nghiệm $$

b) Xác định các giá trị của $$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $$  thỏa mãn điều kiện $$

Có: $$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $$ thì $$

Với $$, theo hệ thức Vi-et ta có:  $$

Theo đề bài ta có: $$

Vậy $$ là giá trị cần tìm.

2. Bài toán có nội dung thực tế

Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm $$, chiều dài giảm đi $$ thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm $$; và nếu chiều rộng giảm đi $$, chiều dài tăng thêm $$ thì diện tích thửa ruộng giảm đi $$. Tính diện tích thửa ruộng trên.

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $$

        chiều dài hình chữ nhật là $$

Diện tích thửa ruộng ban đầu là $$

Khi chiều rộng tăng thêm $$, chiều dài giảm đi $$ thì diện tích thửa ruộng tăng thêm $$ nên ta có:

Khi chiều rộng giảm đi $$, chiều dài tăng thêm $$ thì diện tích thửa ruộng giảm đi $$ nên ta có $$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Diện tích thửa ruộng ban đầu là $$

Bài 4

Phương pháp:

1a) Các góc cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc vuông.

1b) Chứng minh $$ bằng cách sử dụng câu a) 5 điểm cùng thuộc một đường tròn.

1c) Chứng minh tam giác $$và $$ cân tại $$. Khi đó $$

2) Dựa vào công thức $$ khi biết chiều cao $$  và diện tích xung quanh hình trụ để tính bán kính đáy trụ $$  Sau đó dùng công thức $$ để tính thể tích hình trụ.

Cách giải: 

1a) Chứng minh năm điểm $$ cùng nằm trên một đường tròn.

$$ là các tiếp tuyến của $$

Ta có: $$ cùng nhìn $$ dưới một góc vuông (cmt) và $$ cũng nhìn $$ dưới một góc vuông (cmt)

Nên $$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $$. (đpcm).

b) Chứng minh $$ là tia phân giác của $$ và $$.

Do $$là tiếp tuyến $$ là phân giác của $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có tứ giác $$ nội tiếp đường tròn đường kính $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Ta có tứ giác $$ nội tiếp đường tròn đường kính $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

$$ là phân giác của góc $$ (đpcm)

Xét $$ và $$ta có:

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$)

c) Gọi $$ và $$ lần lượt là giao điểm của $$ với $$ và $$. Qua điểm $$ vẽ đường thẳng song song với $$ cắt $$ và $$ lần lượt tại $$ và $$. Chứng minh $$ là trung điểm của $$

Ta có: $$ (hai góc so le trong)

mà $$

$$ cân tại $$

Ta có: $$ (hai góc đồng vị)

Ta có $$ mà $$

$$ cân tại $$$$

Từ (1) và (2) $$ là trung điểm $$

2. Một hình trụ có diện tích xung quanh $$ và chiều cao là $$ Tính thể tích của hình trụ đó.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $$

$$ bán kính của đáy trụ là $$

Thể tích hình trụ là $$

Bài 5

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 bộ 3 số dương $$ và $$

Cách giải:      

a) Cho $$ là ba số dương. Chứng minh $$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ 3 số dương $$ ta có:  $$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ 3 số dương $$ $$

$$ (đpcm)

Dấu “=” xảy ra $$

b) Cho $$ là ba số dương thỏa mãn $$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có: $$

Áp dụng câu a) $$

Tương tự ta có: $$

$$ với $$

Dấu “=” xảy ra $$

Vậy $$ khi $$