Đề cương ôn tập học kỳ II môn toán lớp 8

PHẦN ĐẠI SỐ

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

a. Phương trình dạng \(ax + b = 0,\) với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

b. Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

c. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể:

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

- Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

d. Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\) luôn có một nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{b}{a}\).

2. Phương trình tích

Phương trình tích có dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\)

Giải phương trình: \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) .

3. Phương tình chứa ẩn ở mẫu  

a. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác \(0\).

b. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm.

4. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

a, Bước 1: Lập phương trình:

-Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

-Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

-Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b, Bước 2: Giải phương trình.

c, Bước 3: Trả lời: Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận.

5. Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là hệ thức có dạng \(a > b\) ( hoặc \(a < b,a \ge b,a \le b\) )

a. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

+ Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với hai bất đẳng thức đã cho

 b. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

+) Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

+) Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

c) Tính chất bắc cầu.

Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\)

6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a. Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

b. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

c. Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

7. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a. Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = B\left( x \right)\), ta khử dấu GTTĐ bằng cách xét 2 trường hợp :

- Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \ge 0\\A\left( x \right) = B\left( x \right)\end{array} \right.\)

- Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\ - A\left( x \right) = B\left( x \right)\end{array} \right.\)

b. Với phương trình dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = m\) với \(m \ge 0\), ta có:

            \(\left| {A\left( x \right)} \right| = m \Leftrightarrow A\left( x \right) = m\) hoặc \(A\left( x \right) =  - m\).

c. Với phương trình dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right|\) ta có:

\(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right|  \Leftrightarrow A\left( x \right) = B\left( x \right)\) hoặc \(A\left( x \right) =  - B\left( x \right)\).

PHẦN HÌNH HỌC

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

  Hai đoạn thẳng \(AB\)  và \(MN\) tỉ lệ với hai đoạn thẳng \(A'B'\) và \(M'N'\) nếu có tỉ lệ thức:

\(\dfrac{{AB}}{{MN}} = \dfrac{{A'B'}}{{M'N'}}\)         hay \(\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{{\rm{MN}}}}{{M'N'}}\)

2. Định lí Ta-lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

4. Định lí Ta-lét đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

5. Hệ quả

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

6. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

8. Khái niệm hai tam giác đồng dạng:

Định nghĩa:

Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

* Tỉ số các cạnh tương ứng được gọi là tỉ số đồng dạng  của hai tam giác.

b. Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

9. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

10. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với  hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

11. Tính chất của hai tam giác đồng dạng:

       Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

     - Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

     - Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

     - Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

     - Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

     - Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

12. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

a. Định nghĩa:

Hình hộp chữ nhật có \(6\)  mặt là những hình chữ nhật .

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có \(6\)  mặt là những hình vuông (hình b).

b. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

b1) Quan hệ song song

+) Nếu đường thẳng  \(\left( a \right)\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng của mp \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(\left( a \right)\) song song với mp \(\left( P \right).\)

+) Nếu mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau và chúng cùng song song với mp \(\left( P \right)\)  thì mp \(\left( Q \right)\) song song với mp \(\left( P \right).\)

b2)  Quan hệ vuông góc

+) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Nếu đường thẳng \(\left( a \right)\) vuông góc với hai dường thẳng cắt nhau của mp \(\left( P \right)\) thì đường thẳng  \(\left( a \right)\) vuông góc với mp \(\left( P \right).\)

- Nếu đường thẳng \(\left( a \right)\) vuông góc với mp \(\left( P \right)\) tại điểm \(I\)  thì nó vuông góc với mọi đường thẳng đi qua \(I\) và nằm trong mp \(\left( P \right).\)

+)  Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu mp \(\left( Q \right)\) chứa một đường thẳng vuông góc với mp \(\left( P \right)\) thì mp \(\left( Q \right)\) vuông góc với mp \(\left( P \right).\)

c. Công thức thể tích

+) Thể tích của hình hộp chữ nhật \(V = abc\) (\(a,b,c\) là các kích thước của hình hộp chữ nhật)

+) Thể tích của hình lập phương: \(V = {a^3}\) (\(a\)  là cạnh của hình lập phương).

13. Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa

+ Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật.

Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao \({S_{xq}} = 2.p.h\)

(\(p\)là nửa chu vi đáy, \(h\) là chiều cao)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Thể tích hình lăng trụ đứng

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng tích của diện tích đáy và chiều cao

\(V = S.h\) ( \(S\)  là diện tích đáy, \(h\)  là chiều cao).

14. Hình chóp đều, hình chóp cụt đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều

 + Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

\({S_{xq}} = p.d\)  (p là nửa chu vi đáy; d là trung đoạn của hình chóp đều).

+ Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy.

+ Với hình chóp, để tính diện tích xung quanh ta tính tổng diện tích của các mặt bên.

+  Để tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều, ta tính diện tích một mặt bên rồi nhân với số mặt bên, hoặc lấy diện tích xung quanh của hình chóp đều lớn trừ đi diện tích xung quanh của hình chóp đều nhỏ.

Thể tích hình chóp đều

+  Thể tích của hình chóp đều bằng \(\dfrac{1}{3}\) diện tích đáy nhân với chiều cao  \(V = \dfrac{1}{3}S.h\)

( S là diện tích đáy, h là chiều cao)

+  Để tính thể tích của hình chóp cụt đều, ta lấy thể tích của hình chóp đều lớn trừ đi thể tích của hình chóp đều nhỏ.