Bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35$ trên các đoạn $[-4; 4]$ và $[0;5]$;

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;\ b \right]$ ta làm như sau :

+) Tìm các điểm ${{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}$ thuộc đoạn $\left[ a;\ b \right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)=0$ hoặc không có đạo hàm.

+) Tính $f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)$ và $f\left( a \right);\ f\left( b \right).$

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$.

$\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35$

+) Xét $\displaystyle D=\left[ -4;\ 4 \right]$ có :

$y\text{'}=3x^2-6x-9\Rightarrow y\text{'}=0\iff 3x^2-6x-9=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in D\\ x=-1\in D\end{array}\right.$

Ta có : $\displaystyle y\left( -4 \right)=-41; y\left( -1 \right)=40;$ $y\left( 3 \right)=8; y\left( 4 \right)=15.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=-1$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-41\ \ khi\ \ x=-4.$

+) Xét $\displaystyle D=\left[ 0;\ 5 \right]$ có:

$\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0$ 

$\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in D\\ x=-1\notin D\end{array}\right.$

Ta có : $\displaystyle y\left( 0 \right)=35;\ \ y\left( 3 \right)=8;$ $ y\left( 5 \right)=40.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=5$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\ \ khi\ \ x=3.$

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2$ trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$;

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$

Ta có:$\displaystyle y'=4{{x}^{3}}-6x$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0$ 

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}\right.$

+) Xét $\displaystyle D=\left[ 0;\ 3 \right]$ có: $\displaystyle x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.$

Có: $\displaystyle y\left( 0 \right)=2;\ \ y\left( 3 \right)=56;$ $ y\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\frac{\sqrt{6}}{2}$  và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=56\ \ khi\ \ x=3.$

+) Xét $\displaystyle D=\left[ 2;\ 5 \right]$ ta thấy $\displaystyle x=0;\ \ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.$

Có $\displaystyle y\left( 2 \right)=6;\ \ y\left( 5 \right)=552.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=6\ \ khi\ \ x=2$  và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=552\ \ khi\ \ x=5.$

$\displaystyle y = {{2 - x} \over {1 - x}}$ trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$;

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y=\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{x-1}$. Tập xác định: $\displaystyle R\backslash \left\{ 1 \right\}.$  

Ta có: $\displaystyle y'=\frac{1.\left( -1 \right)-1.\left( -2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.$

+) Với $\displaystyle D=\left[ 2;\ 4 \right]$ có: $\displaystyle y\left( 2 \right)=0;\ \ y\left( 4 \right)=\frac{2}{3}.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=0\ \ khi\ \ x=2$  và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.$

+) Với $\displaystyle D=\left[ -3;\ -2 \right]$ có: $\displaystyle y\left( -3 \right)=\frac{5}{4};\ \ y\left( -2 \right)=\frac{4}{3}.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3$  và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.$

$y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}$ trên đoạn $[-1;1]$.

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y=\sqrt{5-4x}$ . Tập xác định: $\displaystyle \left( -\infty ;\ \frac{5}{4} \right].$

Xét tập $\displaystyle D=\left[ -1;\ 1 \right]:$

Có: $\displaystyle y'=\frac{\left( 5-4x \right)'}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\ \forall x\in \left[ -1;\ 1 \right].$

Ta có: $\displaystyle y\left( -1 \right)=3;\ \ y\left( 1 \right)=1.$

Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=1\ \ khi\ \ x=1$  và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=3\ \ khi\ \ x=-1.$