Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức:
LG a
\(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\dfrac{n(3n+1)}{2}\)
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là \(2\), vế phải bằng \( \dfrac{1.(3.1+1)}{2} = 2\).
Do đó hệ thức a) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\)
Giả sử đẳng thức a) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 \) \(= \dfrac{k(3k+1)}{2}\)
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) \) \(= \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k+1}= [2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1] + (3(k + 1) – 1) \)
\( = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \)
\( = \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2\)
\( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\)
\( = \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 3 + 1} \right)}}{2} \) \( = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}\)
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
LG b
\( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\)
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \( \dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\( S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)
Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\( S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} \)
\(=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\)
\(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
LG c
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\) \(= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \( \dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}\) \(=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\({S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2 \)
\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)
\( = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6}
\end{array}\)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).
Bài 11: Tiết 2: Kinh tế khu vực Đông Nam Á - Tập bản đồ Địa lí 11
Chuyên đề 3: Đọc, viết và giới thiệu về một tác phẩm văn học
Unit 9: Life Now and in the Past
Chuyên đề 3: Vệ sinh an toàn thực phẩm
Chuyên đề 2. Lí thuyết đồ thị
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11