Câu hỏi 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

So sánh  \({3^n} \,\text {và} \, 8n\) khi \(n = 1, 2, 3, 4, 5.\)

Phương pháp giải:

Thay lần lượt các giá trị của \(n\) và so sánh.

Lời giải chi tiết:

So sánh  \({3^n} \,\text {và} \, 8n\) với \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{n{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^1}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} < {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}8.1}\\
{n{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^2}\; = {\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}8.2}\\
{n{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^3}\; = {\rm{ }}27{\rm{ }} > {\rm{ }}24{\rm{ }} = {\rm{ }}8.3}\\
{n{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^4}\; = {\rm{ }}81{\rm{ }} > {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }}8.4}\\
{n{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^5}\; = {\rm{ }}243{\rm{ }} > {\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }}8.5}
\end{array}\)

Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Phương pháp giải:

Từ các kết quả ở ý a) dự đoán kết quả tổng quát \(3^n >8n\) với mọi \(n ≥ 3 \)

Lời giải chi tiết:

Dự đoán kết quả tổng quát:  \(3^n >8n\)  với mọi \(n ≥ 3 \)

- \(n = 3\), bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 3\), nghĩa là:

 \(3^k >8k\)

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:

 \(3^{k+1} >8(k+1)\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

 \(3^{k+1} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k \)

\( k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8 \)

Suy ra:

\(3^{k+1} >8k+8= 8(k + 1)\) 

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(n ≥ 3\)