Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12

LG a

a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng

Bằng cách viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) ( dạng đoạn chắn) rồi chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \) \(\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)

Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\)

Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0);\;\;\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right);\;\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right].\;\overrightarrow {CD} \; = ( - 2).1 + 1.1 + ( - 2).1 = - 3
\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {CD} \;\) không đồng phẳng.

\( \Rightarrow A, B, C, D\) không đồng phẳng

\( \Rightarrow A, B, C, D\) là 4 đỉnh của hình tứ diện

LG b

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

Phương pháp giải:

Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có: \(\cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\displaystyle α\) là góc giữa hai đường thẳng \(\displaystyle AB, CD\) ta có:

\(\displaystyle \cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)

\(\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) \) \(\displaystyle = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)\), \(\displaystyle \overrightarrow {CD}  = ( - 2,1, - 2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \)

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)

\(\displaystyle \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \) \(\Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) =  45^0\) \(\displaystyle  \Rightarrow  α = 45^0\)

LG c

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Phương pháp giải:

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\) \(\displaystyle \overrightarrow {BD}  = ( - 2;0; - 1)\)

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \(\displaystyle (BCD)\) thì: 

\(\displaystyle \overrightarrow n_{(BCD)}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] \) \(\displaystyle = (1; -2; -2)\)

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle (BCD)\):

\(\displaystyle 1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0\)

Chiều cao của hình chóp \(\displaystyle A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(\displaystyle A\) đến mặt phẳng \(\displaystyle (BCD)\):

\(\displaystyle h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }}\) \(\displaystyle = {3 \over 3} = 1\)