Bài 1 trang 94 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) có hai bán kính vuông góc với OA và OB. Vẽ điểm C trên cung lớn AB sao cho \(\dfrac{{sd\,cung\,AC}}{{sd\,cung\,BC}} = \dfrac{4}{5}\). Tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Đặt \(sd\,cung\,AC = 4x \Rightarrow sd\,cung\,BC = 5x\).

Mà \(sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BC = {270^0} \)

\(\Rightarrow 4x + 5x = {270^0}\)

\(\Leftrightarrow 9x = {270^0} \) \(\Leftrightarrow x = {30^0}\)

\( \Rightarrow sd\,cung\,AC = {120^0} \Rightarrow sd\,cung\,BC = {160^0}\).

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0};\,\,\widehat {AOC} = {120^0};\,\,\widehat {BOC} = {150^0}\) (số đo góc ở tâm bằng số đo góc nội tiếp của cung bị chắn).

Tam giác OAB cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (hai góc ở đáy).

Mà \(\widehat {AOB} + \widehat {AOB} + \widehat {OBA} = {180^0} \) \(\Rightarrow \widehat {OAB} + \widehat {OBA} = {180^0} - \widehat {AOB}\) \( \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AOB}}}{2} = {45^0}\)

Chứng minh tương tự ta có:

Tam giác \(OAC\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\).

Tam giác \(OBC\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{150}^0}}}{2} = {15^0}\)

Vậy tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = {45^0} + {30^0} = {75^0}\\\widehat {ABC} = \widehat {OBA} + \widehat {OBC} = {45^0} + {15^0} = {60^0}\\\widehat {ACB} = \widehat {OCA} + \widehat {OCB} = {30^0} + {15^0} = {45^0}\end{array}\)