Bài 10 trang 104 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\), các đường cao \(BD\) và \(CE\). Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm \(B,\ E,\ D,\ C\) cùng thuộc một đường tròn.

b) \(DE < BC\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng tính chất: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh đó để chứng minh ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn đường kính là cạnh huyền.

b) Sử dụng định lí: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow OB=OC=\dfrac{BC}{2}.\)   (1)

Xét tam giác vuông \(DBC\) có: \( OD=\dfrac{1}{2}BC \) (2) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Xét tam giác vuông \(BEC\) có \(OE=\dfrac{1}{2}BC\)(3) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow OB=OC=OD=OE=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó 4 điểm \(B,\ C,\ D,\ E\) cùng thuộc đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\). 

b) Xét \({\left( O; \dfrac{BC}{2} \right)}\), với \(BC\) là đường kính.

Ta có \(DE\) là một dây không đi qua tâm nên ta có \(BC > DE\) ( vì trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất).