Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

Phương pháp giải:

Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: $y'=0.$ Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình $y'=0.$

Lời giải chi tiết:

$y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1$ $(C_m).$

Tập xác định: $D =\mathbb R$

Ta có: $y' = -4x^3+ 4mx = -4x (x^2- m)$

$\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x(x^2-m)=0$ $ \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..$

+) Với $m ≤ 0$ thì $y’$ có một nghiệm $x = 0$ và đổi dấu $+$ sang $–$ khi qua nghiệm này.

Do đó hàm số có một điểm cực đại là $x = 0$

+) Với $m>0$ phương trình $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.

Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là $x = ± \sqrt m$ và có một điểm cực tiểu là $x = 0$.

b) Với giá trị nào của m thì $(C_m)$ cắt trục hoành?

Phương pháp giải:

$(C_m)$ cắt trục hoành $\Leftrightarrow $ phương trình $y=f(x)=0$ có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $(C_m)$ và trục hoành là: 

$\begin{array}{l}
- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
{x^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
{x^2} = 2m - 1
\end{array} \right..
\end{array}$

Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm $x = ± 1$ với mọi m nên $(C_m)$ luôn cắt trục hoành.

Cách khác:

– Xét $m ≤ 0$, phương trình $y’ = 0$ có nghiệm duy nhất $x = 0.$

Ta có bảng biến thiên :

\((Cm)\) cắt trục hoành $⇔ 1 – 2m ≥ 0$

$⇔ m ≤ \frac{1}{2}$

Kết hợp $m ≤ 0$ ta được $m ≤ 0$ (1)

- Xét $m > 0$, phương trình $y’ = 0$ có 3 nghiệm 0 ; $ \pm \sqrt m $

Ta có bảng biến thiên :

$(C_m)$ cắt trục hoành $ \Leftrightarrow {(m - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m \ne 1$

Kết hợp với $m > 0$ ta được $m > 0$ (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra $(C_m)$ cắt trục hoành với mọi $m ∈ R.$

c) Xác định m để $(C_m)$ có cực đại, cực tiểu.

Phương pháp giải:

Hàm số có cực đại và cực tiểu  $\Leftrightarrow $ phương trình $y'=f'(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với $m > 0$ thì đồ thị $(C_m)$ có cực đại và cực tiểu.