Bài 10 trang 74 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ Ox vuông góc với AB. Trên Ox lấy điểm D sao cho \(OD = \dfrac{a}{2}\). Từ B vẽ BC vuông góc với AD kéo dài.

a) Tính AD, AC và BC theo a.

b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên một đường tròn.

c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.

d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.

Lời giải chi tiết

a) Tính AD, AC và BC theo a.

Ta có O là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) OA = OB = \(\dfrac{1}{2}\)AB = a

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O:

\(A{D^2} = O{A^2} + O{D^2}\)\(\, = {a^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4} \)

\(\Rightarrow AD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Xét tam giác ADO và tam giác ABC có:

+) \(\widehat A\) chung;

+) \(\widehat {AOD} = \widehat {ACB} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) Tam giác ADO và tam giác ABC đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{OA}}{{AC}} = \dfrac{{OD}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)

\( \Rightarrow \)\(AC = \dfrac{{4OA}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\) ; \(BC = \dfrac{{4OD}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có O là trung điểm của AB

\( \Rightarrow \) CO là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác ABC vuông tại C

\( \Rightarrow \)OC = a

\( \Rightarrow \) OA = OB = OC = OE = a

\( \Rightarrow \)A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính a.

c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.

Có OA = OE = a \( \Rightarrow \Delta \)OAE vuông cân tại O \( \Rightarrow \widehat {EAB} = {45^o}\)

Ta có A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm O (cmt)

\( \Rightarrow \)AEBC là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ECB} = \widehat {EAB} = {45^o}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Xét \(\Delta \)BCF vuông tại B có \(\widehat {FCB} = {45^o}\) \( \Rightarrow \)\(\Delta \) BCF vuông cân tại B

\( \Rightarrow \) BF = BC = \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.

Ta có AC // BF (cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {PBF} = \widehat {PAC}\)(so le trong) mà \(\widehat {APC} = \widehat {BPF} \) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \) Tam giác PAC đồng dạng với tam giác PBF (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{AP}}{{BP}} = \dfrac{{AC}}{{BF}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}:\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = 2\)

\(\Rightarrow AP = 2BP\)

Mà AP + BP = AB = 2a

\( \Rightarrow \) 3BP = 2a \( \Rightarrow \) BP = \(\dfrac{{2a}}{3}\)\( \Rightarrow \) AP = \(\dfrac{{4a}}{3}\)