Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận vector \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\) là 1 VTPT.

Đường thẳng AD đi qua A và nhận \(\overrightarrow {AD} \) là VTCP, viết phương trình đường thẳng d.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).

Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)

\(\Rightarrow \overrightarrow n  = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)\).

Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:

\(3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\)

Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + t\\z =  - 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)

Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right]\) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)

Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:

\(\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)

\((α)\) chứa \(AD\) nên đi qua điểm \(A(-1; 2; 0)\)

Phương trình của \((α)\) là:

\(5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x - 9y  - 2z + 23 = 0\).